Matematik

nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik (Yunanca μάθημα máthēma, "bilgi, çalışma, öğrenme"); sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

Sudoku matematik oyunu.

Matematikçiler örüntüleri araştırır ve bunları yeni konjektürler formüle etmekte kullanırlar. Bu konjektürlerin doğruluğunu veya yanlışlığını matematiksel ispat yoluyla çözmeye çalışırlar. Matematiksel yapılar gerçek fenomenleri iyi modelize ettiklerinde matematiksel düşünce doğa hakkında tahmin yürütmemizi ve onun iç yüzünü anlamamızı sağlayabilir. Matematik soyutlama ve mantığı kullanarak ve sistemli çalışmayla fiziksel objelerin şekillerini ve hareketlerini saymayı, hesaplamayı ve ölçmeyi mümkün kılar ve böylece gelişir. Pratik matematik yazılı kayıtlardan beri insan etkinliği olagelmiştir. Matematik problemlerinin çözümü için gerekli araştırma yıllarca hatta yüzyıllarca süren bir çaba gerektirebilmektedir.

İlk titiz kayıtlara Yunan matematiğinde rastlanır. (Özellikle Öklid'in Elementler kitabında) Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) ve diğerlerinin geç 19 yüzyılda belitsel sistemler üzerine kurdukları çalışmalarından beri matematiksel araştırmada doğruyu kurmanın geleneği değişti. (Artık uygun olarak seçilen aksiyom ve tanımlardan titiz bir şekilde tümdengelim yapılmaktadır.) Matematik Rönesans'a kadar görece yavaş gelişti. Sonra matematikteki yenilikler diğer yeni bilimsel keșiflerle etkileșerek matematiksel keșiflerde günümüzde hala devam eden hızlı bir artış sağladı.

Galileo Galilei (1564-1642) "Kainat dediğimiz kitap, yazıldığı dil ve harfler öğrenilmedikçe anlaşılamaz. O, matematik dilinde yazılmış; harfleri üçgen, daire ve diğer geometrik şekillerdir. Bu dil ve harfler olmaksızın kitabın tek bir kelimesinin anlaşılmasına olanak yoktur. Bunlar olmaksızın yapılan karanlık bir labirentte amaçsızca dolaşmaktır." Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiği bilimlerin kraliçesine benzetmiştir. Benjamin Peirce (1809-1880) matematik için bilimlerin sonuçlarının çizilmesi için gereken bilim demiştir. David Hilbert "Biz burada gelişigüzel konuşmayız. Matematik şart koşulan rastgele kuralların olduğu bir oyun gibi değildir. O yalnızca içsel gerekliliğin olduğu kavramsal bir sistemdir, aksi hiçbir şey değil." Albert Einstein (1879-1955), "Matematik kesin olduğunda gerçeği yansıtmaz, gerçeği yansıttığında kesin değildir." Fransız matematikçi Claire Voisin, "Matematikte yaratıcı itki, her yerinde kendini ifade etmeyi denemesidir." der.

Matematik dünya genelinde doğa bilimleri, mühendislik, teknoloji ve maliye gibi birçok alanın temel aracıdır. Uygulamalı matematik, matematiksel bilginin diğer alanlara uygulanmasıyla ilgilidir. Bu uygulamalar sayesinde istatistik ve oyun teorisi gibi tamamıyla yeni matematik disiplinleri doğmuştur. Ayrıca matematikçiler soyut matematikle akıllarında herhangi bir kullanım olmadan da yalnızca matematik yapmak için uğraşırlar. Soyut matematikle uygulamalı matematiği ayıran belirgin bir çizgi yoktur. Soyut matematikteki keşifler sıklıkla pratik matematik uygulamalarının başlatıcısı olurlar.

Kelimenin anlamıDüzenle

Antik Yunanca Grekçematesis kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve bilirim anlamına gelmektedir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen Grekçeμάθημα (máthema) kelimesinden türemiştir. Grekçeμαθηματικός (mathematikós) öğrenmekten hoşlanan anlamına gelir. Osmanlı Türkçesinde ise "riyaziye" denilmiştir. Matematik kelimesi Türkçeye Fransızcamathématique kelimesinden gelmiştir.

Matematik eğitimiDüzenle

Matematik, bilimde olduğu kadar günlük hayatta da bir insanın sık sık karşısına çıkar. Matematik, temeli mantığa dayanan bir sistemdir ve zihni geliştiren bir araç olarak kişiye rasyonel bakış açısı kazandırır. Kişiye özgür ve ön yargısız bir düşünce ortamı yaratır. İnsanın sistemli, mantıklı, tutarlı düşünmesini sağlar. Bu yüzden matematik dersi ilköğretimden yükseköğretim programlarına kadar her alanda yer alır. İlköğretimde ortaöğretime hazırlık olarak, ortaöğretimde yükseköğretime hazırlık olarak matematik öğretimi yapılır.

Matematiğin alanlarıDüzenle

Rönesans'tan önce matematik iki ana alana ayrılıyordu: sayıların işlenmesiyle ilgili olarak aritmetik ve şekillerin incelenmesiyle ilgili olarak geometri.[1] Nümeroloji ve astroloji gibi bazı sahte bilim türleri, o zamanlar matematikten açıkça ayırt edilmiyordu.[2]

Rönesans sırasında iki alan daha ortaya çıktı. Matematiksel gösterim, kabaca formüllerin çalışılmasından ve işlenmesinden oluşan cebir'e yol açtı. Sonsuz küçükler hesabı ve integral hesabı olmak üzere iki alt alandan oluşan Kalkülüs, değişkenler ile temsil edildiği şekliyle değişen nicelikler arasındaki tipik doğrusal olmayan ilişkileri modelleyen sürekli fonksiyonlar çalışmasıdır. Aritmetik, geometri, cebir, hesap[3] olmak üzere dört ana alana bölünme 19. yüzyılın sonuna kadar sürdü. Ardından Gök mekaniği ve katı mekaniği gibi alanlar matematikçiler tarafından incelendi ancak artık bunlar fiziğin konularıdır.[4] Kombinatorik konusu kayıtlı tarihin büyük bir bölümünde çalışıldı ancak on yedinci yüzyıla kadar ayrı bir matematik dalı haline gelmedi.[5]

19. yüzyılın sonunda, matematiğin temel krizi ve sonuçta aksiyomatik yöntemin sistemleştirilmesi matematiğin yeni alanlarının patlamasına yol açtı.[6][7] 2020 Matematik Konu Sınıflandırması en az altmış üç birinci düzey alan içerir.[8] Bu alanlardan bazıları sayı teorisi (yüksek aritmetik'in modern adı) ve geometri ile ilgili olduğu gibi eski bölüme karşılık gelir. Diğer bazı birinci seviye alan adlarında "geometri" vardır veya genellikle geometrinin parçası olarak kabul edilirler. Cebir ve hesap, birinci düzey seviye olarak görülmez ama birkaç birinci seviye alanına ayrılır. Matematiksel mantık ve temeller gibi diğer birinci seviye alanlar 20. yüzyılda ortaya çıktı veya daha önce matematik olarak kabul edilmemişlerdi.[9]

  • Cebirsel geometri ve teknikleri, robot ve bilgisayar oyunu modellemelerinde kullanılır.
  •  
    Öklid
    Diferansiyel denklemler ve sayısal analiz teknikleri uçak ve motor modellemelerinde, uydu yapımında ve daha genel olarak dinamik sistemlerin değişimlerinin ölçümünde kullanılır.
  • Fraktallar, anten teknolojisinde hacmi küçük, yüzey alanı büyük antenlerin yapımında kullanılır. Ayrıca fraktal geometri, canlılarda kılcal damarların düzeni ve kanın akışının izahında kullanılır.
  • Kendini kopyalayabilen makineler ve sembolik otomatlar, uzay istasyonlarından Dünya'ya gönderilen dijital verinin kaybolan parçalarının yeniden inşa edilmesinde kullanılır.
  • Fourier analizi ve teknikleri, iletişim ağlarında verinin çok uzak mesafelere gönderilebilmesi ve kaybın en az olması için kullanılır. Ayrıca, Fourier teknikleri resim, video ve dijital müziğin sıkıştırılmasında kullanılır.
  • Hücresel otomatlar, biyolojik canlıların üremelerini ve hastalıkların yayılmalarını modellemek için kullanılır.
  • Cebirsel topolojinin bir alt dalı olan uygulamalı homoloji, dijital verinin matematiksel topolojisini belirlemek için kullanılır. Buna en iyi örnek, uzak gezegenlerin fotoğraflarından gezegen yüzeyinin coğrafyasının belirlenmesidir.
  • Algoritmik teknikler programcılıkta kullanılır.
  • Soyut mantık, elektrik devresi ve bilgisayar dizaynında kullanılır.
  • Graf teorisi, veri tabanının topolojik ve kombinatorik olarak incelenmesinde kullanılır. Örnek olarak, bir ülkedeki hastanelerin bulundukları yer ile aralarındaki uzaklıkların ideal olup olmadığının belirlenmesini verebiliriz. Bir başka örnek ise internet sitelerinin dağılımlarının incelenmesidir.

Matematiğin konularıDüzenle

Sayı teorisiDüzenle

 
Bu, asal sayıların dağılımını gösteren Ulam spirali'dir. Sarmaldaki koyu köşegen çizgiler, artık Hardy ve Littlewood'un Sanısı F olarak bilinen bir varsayım olan ikinci dereceden bir polinomun asal olması ile bir değeri olması arasındaki varsayımsal yaklaşık bağımsızlığa işaret eder.

Sayı teorisi, sayıların, yani doğal sayılar  'nin işlenmesiyle başladı ve daha sonra tam sayılara   ve rasyonel sayılara   doğru geliştirildi. Eskiden sayı teorisine aritmetik denirdi ancak günümüzde bu terim çoğunlukla sayısal hesaplamalar için kullanılır.[10] Sayı teorisinin kökeni eski Babil ve muhtemelen Çin'e dayanmaktadır. Önde gelen ilk sayı teorisyenleri Öklid ve Diophantus idi.[11] Sayı teorisinin soyut biçimindeki modern çalışması büyük ölçüde Pierre de Fermat ve Leonhard Euler'e atfedilir. Alan, Adrien-Marie Legendre ve Carl Friedrich Gauss'un katkılarıyla meyvesini verdi.[12] Kolayca ifade edilen birçok sayı probleminin, matematiğin her yerinden gelişmiş yöntemler gerektiren çözümleri vardır. Öne çıkan bir örnek Fermat'nın son teoremi‘dir. Bu varsayım 1637'de Pierre de Fermat tarafından ifade edildi ancak yalnızca 1994 yılında Andrew Wiles tarafından cebirsel geometri, kategori teorisi ve homolojik cebir'den şema teorisini içeren araçlar kullanılarak kanıtlandı.[13]

Başka bir örnek, 2'den büyük her çift tam sayının iki asal sayı'nın toplamı olduğunu öne süren Goldbach hipotezi'dir. 1742'de Christian Goldbach tarafından ifade edilen, büyük çabalara rağmen bugüne kadar kanıtlanmamıştır.[14]

Sayı teorisi, analitik sayı teorisi, cebirsel sayı teorisi, sayıların geometrisi (yöntem yönelimli), diophantine denklemleri ve aşkınlık teorisi dahil olmak üzere birçok alt alanı içerir.[9]

                 
Doğal sayılar[15] Tam sayılar[16] Rasyonel sayılar[17] İrrasyonel sayılar Reel sayılar[18] Karmaşık sayılar[19] Dördeyler[20][21][22] Asal sayılar[23] Sabitler[24]
        π,e      
Hiperbolik sayılar Çifte karmaşık sayılar P-sel sayılar Ardışık sayılar Aşkın sayı Mükemmel sayı İkili sayılar Sıfır

GeometriDüzenle

 
Bir kürenin yüzeyinde, Öklid geometrisi yalnızca yaklaşık olarak doğrudur. Daha büyük ölçeklerde üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşit değildir.

Geometri, matematiğin en eski dallarından biridir. Doğrular, açılar ve daireler gibi şekillerle ilgili ampirik tariflerle başladı ve esasen yerölçümünün ve mimari'nin ihtiyaçları için geliştirildi ancak o zamandan beri diğer birçok alt alana yayıldı.[25]

Temel yenilik eski Yunanlar tarafından kanıtlar kavramının getirilmesiydi ve her iddianın "kanıtlanması" gerekliliği vardı. Örneğin iki uzunluğun eşit olduğunu ölçerek doğrulamak yeterli değildir. Uzunlukların eşit olup olmadıkları önceden kabul edilmiş sonuçlardan (teoremler) ve birkaç temel ifadeden çıkarım yapılarak kanıtlanmalıdır. Temel ifadeler apaçık anlaşılabilir olduklarından (varsayımlar) veya çalışma konusu tanımın parçası olduklarından (aksiyomlar) ispata tabi değildirler. Tüm matematiğin temelini oluşturan bu ilke ilk olarak geometri için geliştirildi ve Öklid tarafından MÖ 300 civarında Elementler adlı kitabında sistemleştirildi.[26][27]

Ortaya çıkan Öklid geometrisi Öklid düzleminde (düzlem geometrisi) ve üç boyutlu Öklid uzayındaki çizgilerden, düzlemlerden ve dairelerden inşa edilmiş şekillerin ve düzenlemelerinin incelenmesidir.[25]

Öklid geometrisi, René Descartes'ın Kartezyen koordinatları tanıttığı 17. yüzyıla kadar yöntem veya kapsam değişikliği olmadan geliştirildi. Bu büyük bir paradigma değişikliği idi. Çünkü gerçek sayıları doğru parçalarının uzunlukları olarak tanımlamak yerine (bkz. sayı doğrusu), noktaların koordinatlarını (sayılar) kullanarak temsiline imkan verdi. Bu, kişinin geometrik problemleri çözmek için cebiri (ve daha sonra kalkülüsü veya hesabı) kullanmasına imkan verir. Bu, geometriyi iki yeni alt alana ayırdı: tamamen geometrik yöntemler kullanan sentetik geometri ve sistematik olarak koordinatları kullanan analitik geometri.[28]

Analitik geometri, daireler ve doğrularla ilgili olmayan eğrilerin çalışılmasına izin verir. Bu tür eğriler fonksiyonların grafiği olarak tanımlanabilir (çalışması diferansiyel geometri'ye yol açtı). Ayrıca kapalı denklemler, genellikle cebirsel denklemleri (cebirsel geometri'yi doğuran) olarak da tanımlanabilir. Analitik geometri ayrıca üç boyuttan daha yüksek Öklid uzaylarını dikkate almayı mümkün kılar.[25]

19. yüzyılda matematikçiler, paralel varsayımı izlemeyen Öklid dışı geometrileri keşfettiler. Bu varsayımın doğruluğunu sorgulayarak, bu keşfin Matematiğin temellerini ortaya çıkarmada Russel paradoksu ile birleştiği görüldü. Krizin bu yönü, aksiyomatik yöntemi sistematik hale getirerek ve seçilen aksiyomların doğruluğunun matematiksel bir problem olmadığını benimseyerek çözüldü.[29][7] Buna karşılık aksiyomatik yöntem ya aksiyomları değiştirerek ya da uzay'ın belirli dönüşümleri altında değişmez olan özellikleri dikkate alarak elde edilen çeşitli geometrilerin incelenmesine imkan verir.[30]

Günümüzde geometrinin alt alanları şunlardır:[9]

  • 16. yüzyılda Girard Desargues tarafından tanıtılan Projektif geometri, paralel çizgiler'in kesiştiği sonsuzda noktalar ekleyerek Öklid geometrisini büyütür. Bu, kesişen ve paralel çizgiler için işlemleri birleştirerek klasik geometrinin birçok yönünü kolaylaştırır.
  • Afin geometri, paralellik ile ilgili ve uzunluk kavramından bağımsız özelliklerin incelenmesi.
  • Diferansiyel geometri, diferansiyel fonksiyonları kullanılarak tanımlanan eğrilerin, yüzeylerin ve bunların genellemelerinin incelenmesi
  • Manifold teorisi, daha geniş uzaya gömülü olması gerekmeyen şekillerin incelenmesi
  • Riemann geometrisi, eğri uzaylarda mesafe özelliklerinin incelenmesi
  • Cebirsel geometri, polinomlar kullanılarak tanımlanan eğrilerin, yüzeylerin ve bunların genellemelerinin incelenmesi
  • Topoloji, sürekli deformasyonlar altında tutulan özelliklerin incelenmesi
    • Cebirsel topoloji, cebirsel yöntemlerin, özellikle homolojik cebirin topolojide kullanımı
  • Ayrık geometri, geometride sonlu yapılanmaların incelenmesi
  • Dışbükey geometri, önemini optimizasyon uygulamalarından alan dışbükey kümelerin incelenmesi,
  • Karmaşık geometri, gerçek sayıların karmaşık sayılar ile yer değiştirilmesiyle elde edilen geometri

Cebirsel geometri -- Analitik geometri -- Diferansiyel geometri -- Diferansiyel topoloji -- Cebirsel topoloji -- Lineer cebir --Fraktal geometri

         
Geometri Trigonometri Diferansiyel geometri Topoloji Fraktal geometri

HesapDüzenle

Aritmetik -- Analiz -- Türev -- Kesirli hesap -- Fonksiyonlar -- Trigonometrik fonksiyonlar

         
Kalkülüs Vektör hesabı Diferansiyel denklemler Dinamik sistem Kaos teorisi

Temel matematiksel yapılarDüzenle

Monoid -- Öbek (matematik) -- Halkalar -- Cisim (Cebir) -- Topolojik Uzaylar -- Çokkatlılar -- Hilbert aksiyomları -- Sıralamalar

Temel matematiksel kavramlarDüzenle

Cebir -- Kümeler -- Sayılar -- Bağıntılar--Fonksiyonlar -- Limit -- Süreklilik -- Türev ve Türevlenebilirlik -- Analitik geometri -- İntegrallenebilirlik -- Matris --Determinantlar -- Eşyapı -- Homotopi -- İyi-sıralılık ilkesi -- Sayılabilirlik -- Soyutluk -- Oran -- Orantı -- Polinom -- Permütasyon -- Kombinasyon -- Logaritma -- Diziler -- Seriler -- Lineer cebir

Matematiğin ana dallarıDüzenle

Soyut cebir -- Sayılar teorisi -- Cebirsel geometri -- Grup teorisi -- Analiz -- Topoloji -- Graf teorisi -- Genel cebir -- Kategori teorisi -- Matematiksel mantık -- Türevsel denklemler -- Kısmi türevsel denklemler -- Olasılık -- Kompleks fonksiyonlar teorisi

       
Sayılar teorisi Soyut cebir Grup teorisi Graf teorisi

Sonlu matematikDüzenle

Kombinatorik -- Saf küme teorisi -- Olasılık -- Hesap teorisi -- Sonlu matematik -- Kriptografi -- Graf teorisi -- Oyun teorisi

       
Kombinatorik Hesap teorisi Kriptografi Graf teorisi

Uygulamalı matematikDüzenle

Mekanik -- Sayısal analiz -- Optimizasyon -- Olasılık -- İstatistik -- Finansal matematik

Ünlü teoriler ve hipotezlerDüzenle

Fermat'nın son teoremi -- Riemann hipotezi -- Süreklilik hipotezi -- P=NP -- Goldbach hipotezi -- Gödel'in yetersizlik teoremi -- Poincaré hipotezi -- Cantor'un diagonal yöntemi -- Pisagor teoremi -- Merkezsel limit teoremi -- Hesabın temel teoremi -- İkiz asallar hipotezi -- Cebirin temel teoremi -- Aritmetiğin temel teoremi -- Dört renk teoremi -- Zorn önsavı -- Fibonacci dizisi

Temeller ve yöntemlerDüzenle

Matematik felsefesi -- Sezgici matematik -- Oluşturmacı matematik -- Matematiğin temelleri -- Kümeler teorisi -- Sembolik mantık -- Model teorisi -- Kategori teorisi -- Teorem ispatlama -- Mantık -- Tersine matematik -

     
Matematiksel mantık Küme Kategori Teorisi

Matematik yazılımlarıDüzenle

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Bell, E. T. (2012). The Development of Mathematics. Dover Books on Mathematics (reprint, revised bas.). Courier Corporation. s. 3. ISBN 9780486152288. 18 Aralık 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Aralık 2022. 
  2. ^ Tiwari, Sarju (1992). Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science. Mittal Publications. s. 27. ISBN 9788170994046. 
  3. ^ Restivo, S. (December 2013). Mathematics in Society and History. Springer Netherlands. ss. 14-15. ISBN 9789401129442. 
  4. ^ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics. Springer International Publishing. ss. 1-183. ISBN 9783031123221. 
  5. ^ Biggs, N. L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109-136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  6. ^ Warner, Evan (2013). "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF). Columbia University. ss. 1-17. 14 Nisan 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2022. 
  7. ^ a b Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; Kleiner_1991 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  8. ^ Dunne, Edward; Hulek, Klaus (March 2020). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 67 (3). 20 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 4 Kasım 2022. 
  9. ^ a b c "MSC2020-Mathematics Subject Classification System" (PDF). zbMath. Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH. 31 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 26 Kasım 2022. 
  10. ^ LeVeque, William J. (5 Ocak 2014). Fundamentals of Number Theory. Dover Publications. ss. 1-30. ISBN 9780486141503. 
  11. ^ Goldman, Jay (1997). The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. CRC Press. ss. 1-3. ISBN 9781439864623. 18 Aralık 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Aralık 2022. 
  12. ^ Weil, André (2007). Number Theory, An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. Birkhäuser Boston. ss. 1-3. ISBN 9780817645717. 
  13. ^ Kleiner, Israel (February 2000). "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem". Elemente der Mathematik. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. 
  14. ^ Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture. Series in pure mathematics. 4 (revised bas.). World Scientific. ss. 1-18. ISBN 9789812776600. 18 Aralık 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Aralık 2022. 
  15. ^ Hamilton (1988) (İngilizce)
  16. ^ Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic (İngilizce). Appleton-Century-Crofts. s. 83. ISBN 0-390-16895-5. 
  17. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (İngilizce) (6th bas.). New York, NY: McGraw-Hill. ss. 105, 158-160. ISBN 978-0-07-288008-3. 
  18. ^ Pugh, Charles Chapman (2002). Real Mathematical Analysis (İngilizce). New York: Springer. ss. 11–15. ISBN 0-387-95297-7. 14 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Ağustos 2016. 
  19. ^ Charles P. McKeague (2011). Elementary Algebra (İngilizce). Brooks/Cole. s. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
  20. ^ On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (letter to John T. Graves, dated October 17, 1843) (İngilizce). 1843. 
  21. ^ Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988). The history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space (İngilizce). Springer. s. 385. ISBN 9780387964584. 
  22. ^ Girard, P. R. The quaternion group and modern physics (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25–32. (İngilizce) DOI:10.1088/0143-0807/5/1/007
  23. ^ Dudley, Underwood (1978). Elementary number theory (İngilizce) (2nd bas.). W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
  24. ^ Weisstein, Eric W. "Constant" (İngilizce). MathWorld. 3 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Nisan 2011. 
  25. ^ a b c Straume, Eldar (September 2014). "A Survey of the Development of Geometry up to 1870". ePrint. arXiv:1409.1140 $2. Bibcode:2014arXiv1409.1140S. 
  26. ^ Hilbert, David (1962). The Foundations of Geometry. Open Court Publishing Company. s. 1. 
  27. ^ Hartshorne, Robin (11 Kasım 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer New York. ss. 9-13. ISBN 9780387226767. 
  28. ^ Boyer, Carl B. (28 Haziran 2012). History of Analytic Geometry. Dover Publications. ss. 74-102. ISBN 9780486154510. 
  29. ^ Stump, David J. (1997). "Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900". Perspectives on Science. 5 (3): 383. doi:10.1162/posc_a_00532. 6 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Aralık 2022. 
  30. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (February 1996). "Non-Euclidean geometry". MacTuror. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. 6 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Kasım 2022. 

Dış bağlantılarDüzenle