Dışbükey küme

Matematikte, iki elemanı arasındaki doğru parçasının tamamını yine içinde bulundaran kümelere dışbükey küme ya da konveks küme denir. Başka bir denk ifadeyle belirtmek gerekirse, dışbükey bir küme herhangi bir doğruyla kesişimi bir doğru parçası, sadece bir nokta ya da boş küme olan kümelere verilen addır. Örneğin, içi dolu bir küp bu bağlamda dışbükeydir. İçbükümlü olan herhangi bir küme ya da geometrik oluşum dışbükey olamaz. Mesela, hilâl şeklinde olan bir küme dışbükey değildir.

Dışbükey bir küme örneği. İçeride bulunan x ve y noktalarını birleştiren ve siyah çizgi ile gösterilen doğru parçası tamamen yeşil alanın içindedir. Bu koşul, kümenin içinde bulunan herhangi iki nokta için geçerlidir.

Bir içbükümlü küme örneği. İçeride bulunan x ve y noktalarını birleştiren ve siyah çizgi ile gösterilen doğru parçası dışarıya taşar. Bu yüzden, bu küme dışbükey değildir.

Düzlemdeki her dışbükey kümenin topolojik sınırı dışbükey bir eğri oluşturur. Bir $A$ kümesini içinde bulunduran bütün kümelerin kesişimine $A$'nın kaplamı ya da daha açık bir şekilde, $A$'nın dışbükey kaplamı denir. $A$'nın dışbükey kaplamı A kümesini içeren en küçük dışbükey kümedir.

Dışbükey bir fonksiyon, epigrafının (yâni, fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya üstündeki noktaların kümesi) dışbükey bir küme olması özelliğine sahip ve bir aralıkta tanımlı gerçel değerli bir fonksiyondur. Dışbükey kümelerin ve dışbükey fonksiyonların özelliklerini inceleyen ve araştıran matematik dalına dışbükey analiz denir. Optimizasyonun bir alanı olan dışbükey minimizasyon ise dışbükey kümeler üzerinde tanımlı dışbükey fonksiyonların minimizasyonu ile ilgilidir.

Verilen doğru parçası şartı gereğince, dışbükey kümelerin elemanlarının gerçel sayılarla çarpımı ve yine herhangi iki elemanı arasında toplama işlemi tanımlı olmak durumundadır. Dışbükey kümelerin tanımlandığı uzaylar arasında Öklid uzayları, gerçel sayılar üzerinden tanımlı afin uzaylar ve bazı Öklid-dışı geometriler bulunur.

Tanım

$V$ kümesi gerçel sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ya da afin uzay ya da daha da genel haliyle bir sıralı cisim olsun. $V$nin bir altkümesi $D$nin herhangi iki elemanını birleştiren doğru parçası yine $C$ içinde kalıyorsa, $D$ye dışbükey küme denir.

Doğru parçası tanımı gereğince, $C$'nin iki elemanı olan $x$ ve $y$ için $\{(1-t)x+ty|t\in [0,1]\}$ kümesinin yine $D$ içinde kalması gerekir. Bu da, dışbükeyliğin afin dönüşümler altında değişmez olduğu anlamına gelir. Ayrıca, gerçel veya karmaşık bir topolojik vektör uzayındaki bir dışbükey kümenin yol bağlantılı (ve bu nedenle de bağlantılı) olduğu anlamına gelir .

Bir $D$ kümesi $x$ ve $y$'yi birleştiren doğru parçası üzerindeki başlangıç ve bitiş noktaları olan $x$ ve $y$ dışında her nokta $D$nin topolojik içindeyse kesin dışbükeydir. Kapalı ve dışbükey bir altkümenin kesin dışbükey olması için ancak ve ancak bu altkümenin sınır noktalarının uç nokta olması ile mümkündür.

Bir $D$ kümesi eğer hem dışbükey hem de dengeli ise mutlak dışbükeydir.

Örnekler

Düzlemde dışbükey olmayan küme ve şekillere örnekler

• Gerçel sayılar kümesi $\mathbb {R}$nin dışbükey altkümeleri aralıklar ya da sadece noktalardır.
• Kartezyen düzlemdeki örneklere ise düzenli çokgenler, içi dahil olmak üzere üçgenler, ve bu üçgenlerin kesişimi örnek olarak verilebilir.
• Üç boyutlu Öklid uzayında ise Arşimed cisimleri ya da Platonik cisimler örnek verilebilir.

Öbür taraftan,

• dairesel halkalar ya da genel haliyle torus dışbükey değildir.
• Ayrıca, dışbükey bir kümenin topolojik kenarı genellikle dışbükey değildir. Meselâ,
  • daire dışbükeydir ama çember değildir
  • içi dolu üçgen dışbükeydir ama üçgenin sınırını oluşturan küme dışbükey değildir.

Özellikler

Dışbükey bir $D$ kümesinde alınan $r$ tane nokta $u_{1},\cdots ,u_{r}$ ile gösterilsin. Yine, $r$ tane negatif-olmayan gerçel sayı ise $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{r}$ ile gösterilsin. Eğer, $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{r}=1$ ise, o zaman $$\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$$ noktası da $D$ kümesine aittir.

Ayrıca, bir dışbükey veya içbükey fonksiyonun grafiğinin üstünde veya altında yer alan altküme dışbükeydir.

Kesişim ve birleşimler

Bir vektör uzayının, afin uzayın ya da Öklid uzayının dışbükey altkümeleri şu özelliklere sahiptir.

• Boş küme veya uzayın tümü dışbükeydir.
• İki dışbükey kümenin kesişimi yine dışbükeydir; bu yüzden, herhangi bir sayıya sahip olan dışkümeler ailesinin kesişimi yine dışbükeydir.
• Biri bir sonrakinin altkümesi olacak şekilde alınan herhangi bir dışbükey kümeler dizisinin birleşimi yine dışbükeydir.

Kapalı dışbükey kümeler

Kapalı dışbükey kümeler, tüm limit noktalarını içeren dışbükey kümelerdir. Kapalı yarıuzaylar (uzayda, bir hiperdüzlemin üzerinde ve bir tarafında bulunan nokta kümeleri) kesişimleri olarak tanımlanabilirler. Bu tür kesişimlerin dışbükey olduğu ve aynı zamanda kapalı kümeler olacağı açıktır. Tersini kanıtlamak için, yâni, her kapalı dışbükey kümenin böyle bir kesişim olarak gösterileceğini kanıtlamak için, "verilen kapalı dışbükey bir $D$ kümesi ve onun dışındaki $P$ noktası için, $D$'yi içeren ve $P$'yi içermeyen kapalı bir $H$ yarıuzayı olduğu" biçimindeki destek hiperdüzlemi teoremine ihtiyaç vardır. Destek hiperdüzlem teoremi, fonksiyonel analizdeki Hahn-Banach teoreminin özel bir durumudur.

Dışbükey kümeler ve dikdörtgenler

$D$ düzlemde bir dışbükey cisim (iç kısmı boş olmayan bir dışbükey küme) olsun. $D$ içinde öyle bir $r$ dikdörtgeni vardır ki $r$'nin benzeşim kopyalarından biri ($R$ olsun) $D$ kümesini çevreler. Ayrıca, burada pozitif benzeşim oranı en fazla 2'dir ve şu alan eşitsizliği sağlanır: $${\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Alan} (R)\leq \operatorname {Alan} (D)\leq 2\cdot \operatorname {Alan} (r).$$

Diğer özellikler

$X$ topolojik vektör uzayı ve $D\subset X$ dışbükey olsun

• Dışbükey kümelerin topolojik kapanışı ve içi yine dışbükeydir.
• Eğer $a\in D^{\mathrm {o} }$ ve $b\in {\overline {D}}$ ise o zaman $[a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}\subseteq D^{\mathrm {o} }$ olur.
• $D^{\mathrm {o} }\neq \emptyset$ ise
  • ${\overline {D^{\mathrm {o} }}}={\overline {D}}$
  • $D^{\mathrm {o} }={\overline {D}}^{\mathrm {o} }$

Dışbükey kaplam ve Minkowski toplamı

Dışbükey kaplam

Ana madde: Dışbükey kaplam

Bir kümenin dışbükey kaplamı bu kümeyi içeren en küçük dışbükey kümedir. Dışbükey kaplam, bir Öklid uzayının belirli bir alt kümesini içeren tüm dışbükey kümelerin kesişimi olarak veya eşdeğer olarak, altkümedeki tüm dışbükey nokta kombinasyonlarının kümesi olarak tanımlanabilir. Düzlemin sınırlı bir alt kümesi için, dışbükey kaplam, altkümenin etrafına gerilmiş bir lastik bantla çevrelenmiş şekil olarak görselleştirilebilir.

Minkowski toplamı

Ana madde: Minkowski toplamı

Gerçel bir vektör uzayında, iki boş olmayan kümenin Minkowski toplamı, toplanan kümelerden eleman bazında vektörlerin toplanmasıyla oluşan küme olarak tanımlanır: $$S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.$$ Daha genel olarak, her biri boş olmayan sonlu sayıdaki kümelerin Minkowski toplamı, vektörlerin eleman bazında toplanmasıyla oluşan kümedir: $$\sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.$$ Minkowski toplama işlemi için, yalnızca sıfır vektörü 0'ı içeren sıfır kümesi {0} özel bir öneme sahiptir: Bir vektör uzayının boş olmayan her altkümesi $S$ için $$S+\{0\}=S$$ olur. Cebirsel terminolojide, {0} Minkowski toplamının (boş olmayan kümelerin) birim elemanıdır. Boş küme de Minkowski toplamında önemlidir; çünkü, boş küme diğer tüm altkümeleri yok eder: Bir vektör uzayının her $S$ altkümesi için, boş kümeyle yapılan Minkowski toplamı yine boştur:

$S+\emptyset =\emptyset$.

Minkowski toplamlarının dışbükey kaplamları

Minkowski toplamı, dışbükey kaplam alma işlemine göre iyi tanımlıdır. Diğer deyişle, bir gerçel vektör uzayın iki altkümesinin Minkowski toplamının dışbükey kaplamı, bu iki altkümenin ayrı ayrı dışbükey kaplamlarının Minkowski toplamına eşittir. Dışbükey kaplam işlemini $\operatorname {Kaplam}$ olarak gösterecek olursak $$\operatorname {Kaplam} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Kaplam} (S_{1})+\operatorname {Kaplam} (S_{2}).$$ Bu sonuç, her biri boş olmayan sonlu sayıdaki kümelerin Minkowski toplamı için de geçerlidir: $${\text{Kaplam}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Kaplam}}\left(S_{n}\right).$$

Matematiksel terminolojide, Minkowski toplamı ve dışbükey kaplam alma işlemleri değişmeli işlemlerdir.

Dışbükey kümelerin Minkowski toplamları

Tıkız iki dışbükey kümenin Minkowski toplamı yine tıkızdır. Tıkız dışbükey kümeyle ve kapalı dışbükey bir kümenin Minkowski toplamı yine kapalıdır.

Dieudonné tarafından 1966'da kanıtlanan bir teorem iki dışbükey kapalı kümenin farkının yine kapalı olması için yeterli bir şart vermektedir. Boş olmayan bir dışbükey $S$ altkümesinin çekilme konisi aşağıdaki gibi tanımlansın: $$\operatorname {ck} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},$$ O zaman, çekilme konisi dışbükey bir konidir.

• Vektör uzayının $0\in X$ elemanı bu koniye aitir
• $S+\operatorname {ck} S=S$ özelliği sağlanır.

$S$'nin kapalı ve dışbükey olduğunu hatırlarsak, o zaman, $\operatorname {ck} S$ de kapalı olur ve her $s_{0}\in S$ için $$\operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).$$

Teorem (Dieudonné). A ve B bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayının boş olmayan, kapalı ve dışbükey altkümeleri olsun. Ayrıca, $\operatorname {ck} A\cap \operatorname {ck} B$ doğrusal bir altuzay olsun. A veya B yerel tıkız ise A − B kapalıdır.

Dışbükeyliğin genellemeleri ve uzantıları

Öklid uzayındaki dışbükeylik kavramı, tanımı bazı yönlerden değiştirerek genelleştirilebilir. "Genelleştirilmiş dışbükeylik" genel adı kullanılır, çünkü ortaya çıkan nesneler dışbükey kümelerin belirli özelliklerini korur.

Yıldız-dışbükey (yıldız şekilli) kümeler

Ana madde: Yıldız bölge

C, gerçel veya karmaşık vektör uzayında bir küme olsun. C'deki x₀ noktasından x₀'deki herhangi bir y noktasına giden doğru parçası C'de bulunuyorsa C yıldız dışbükeydir (yıldız şeklindedir). Dolayısıyla, boş olmayan bir dışbükey küme her zaman yıldız-dışbükeydir ancak yıldız-dışbükey bir küme her zaman dışbükey değildir.

Dik dışbükeylik

Ana madde: Dik dışbükey kaplam

Genelleştirilmiş dışbükeyliğin bir örneği dik dışbükeyliktir.

Öklid uzayındaki bir S kümesinde, bu kümenin iki noktasını birleştiren ve koordinat eksenlerinden herhangi birine paralel herhangi bir doğru parçası yine S içinde kalıyorsa, S'ye dik dışbükey denir. Herhangi bir dik dışbükey küme ailesinin kesişiminin yine dik dışbükey olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dışbükey kümelerin diğer bazı özellikleri de yine geçerlidir.

Öklid dışı geometri

Dışbükey bir kümenin ve dışbükey bir kaplamın tanımı, doğal olarak Öklidyen olmayan geometrilere de genişletilebilir; bunun için, kümedeki herhangi iki noktayı birleştiren jeodezikleri içeren bir kümenin jeodezik dışbükey bir küme olduğu tanımlanır.

Sıralama topolojisi

Dışbükeylik, sıra topolojisine sahip tam sıralı bir küme $X$ için genişletilebilir.

Y ⊆ X bir alt uzay olsun. Ydeki a ≤ b olan her $a,b$ nokta çifti için, [a, b] = {x ∈ X | a ≤ x ≤ b} kapalı aralığı Y'de kalıyorsa, Y'ye dışbükey küme denir.

Genel olarak dışbükey bir küme bağlantılı değildir. Örneğin, Zdeki {1,2,3} alt uzayı hem dışbükeydir hem de bağlantılı değildir.

Dışbükeylik uzayları

Dışbükeylik kavramı, dışbükeyliğin belirli özellikleri aksiyom olarak seçilirse diğer nesnelere de genelleştirilebilir.

Verilen bir X kümesi için, X üzerindeki bir dışbükeylik, aşağıdaki aksiyomları sağlayan X'in alt kümelerinin 𝒞 koleksiyonudur:

• Boş küme ve X, 𝒞'dedir
• 𝒞'de herhangi bir koleksiyonun kesişimi yine 𝒞dedir.
• 𝒞 elemanlarından oluşan bir zincirin (𝒞nin elemanlarının altkümesi olması ilişkisi açısından ) birleşimi 𝒞dedir.

𝒞'nin elemanlarına dışbükey kümeler ve (X, 𝒞) çiftine ise dışbükeylik uzayı adı verilir. Sıradan dışbükeylik için ilk iki aksiyom geçerlidir ve üçüncüsü önemsizdir.

Soyut dışbükeyliğin ayrık geometriye daha uygun alternatif bir tanımı için, antimatroidlerle ilişkili dışbükey geometrilere bakınız.

Dışbükey uzaylar

Ana madde: Dışbükey uzay

Dışbükeylik, soyut bir cebirsel yapı olarak genelleştirilebilir. Bir uzay, noktaların dışbükey kombinasyonları alınabiliyorsa dışbükeydir.

Ayrıca bakınız

• Emen küme
• Dışbükey kümeler üzerinde algoritmik problemler
• Sınırlı küme (topolojik vektör uzayı)
• Brouwer sabit nokta teoremi
• Karmaşık dışbükeylik
• Dışbükey kaplam
• Dışbükey seri
• Dışbükey metrik uzay
• Karatodori teoremi (dışbükey kaplam)
• Choquet teorisi
• Helly teoremi
• Holomorf dışbükey kaplam
• Ayrık dışbükey küme
• John elipsoiti
• Sözde dışbükeylik
• Radon teoremi
• Shapley-Folkman önsavı
• Simetrik küme

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Convex subset", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Lectures on Convex Sets, Niels Lauritzen tarafından notlar. Aarhus Üniversitesi, Mart 2010.