Lineer cebir

Doğrusal cebir ya da lineer cebir; matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Üç-boyutlu Öklid uzayı R3 bir vektör uzayıdır ve orijinden doğru ve düzlem yoluyla R3 vektör altuzayından geçiş

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

TemelleriDüzenle

Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burada sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır. Yöneyler vektör olarak da bilinir. Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki her bir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

Yöneyler ve DizeylerDüzenle

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:

 

Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:

 

Son olarak 4 satır ve üç sütundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:

 

Çalışmanın kapsamıDüzenle

Vektör uzaylarıDüzenle

Vektör uzayı, doğrusal cebirin ana yapısıdır. Bir F [[cismi]] üzerinde bir vektör uzayı bir V kümesi ile birlikte iki ikili işlemdir. V’nin ögelerine vektör ve F’nin ögelerine skaler denir.[1] Aşağıdaki listede diyelim ki u, v ve w, V içinde keyfi vektörler ve a ve b, F içinde skalerler olsun.

Aksiyom Açıklaması
toplamanın bileşimi u + (v + w) = (u + v) + w
toplamanın değişimi u + v = v + u
toplamaya göre etkisiz eleman Burada 0 ∈ V ögesi var, sıfır vektör denir, böylece her vV için v + 0 = v.
toplamaya göre ters eleman her v ∈ V için, burada bir −vV ögesi var, vnin toplamsal tersi denir , böylece v + (−v) = 0
vektör toplamının skaler çarpım üzerinde Dağılma özelliği   a(u + v) = au + av
sıralı alan toplamının skaler çarpımın üzerinde dağılması (a + b)v = av + bv
Alan çarpımı ile skaler çarpımı eşitliği a(bv) = (ab)v [nb 1]
skaler çarpımın etkisiz elemanı 1v = v, burada 1 F içinde çarpmaya göre etkisizdir.

Doğrusal dönüşümlerDüzenle

Verilen bir F alanı üzerinde V ve W iki vektör uzayı, bir doğrusal dönüşüm (ayrıca doğrusal gönderme, doğrusal gönderim veya doğrusal işlemci) bir göndermedir.

 

bu toplam ve skaler çarpım ile uyumlandırılabilir:

 

u,vV herhangi iki vektör ve bir skaler aF için.

toplanabilir herhangi iki vektör u, vV ve skaler a, bF için:

 

Alt uzay, germe ve tabanDüzenle

Yine diğer cebirsel nesnelerin teorileri ile analog olarak, lineer cebir vektör uzaylarının kendileri vektör alanlarının alt kümeleriyle ilgilenmektedir, bu alt kümeler doğrusal alt uzayı olarak adlandırılır. Örneğin, aralık ve doğrusal bir eşleme bölgesinin hem çekirdek hem de alt uzayları vardır ve bu nedenle sık sık aralık alanı olarak adlandırılır ve boşuzay; bu alt uzayların önemli örneklerdir. Bir alt uzayı oluşturmanın bir diğer önemli yolu da doğrusal kombinasyona almaktır, v1, v2, …, vk vektörlerinin bir kümesi:

 

burada a1, a2, …, ak skalerlerdir. Vektörlerinin doğrusal tüm bileşimlerinin kümesi v1, v2, …, vk buna germe denir, bunun bir alt uzay formudur.

Tüm sıfır katsayısı ile vektörlerinin herhangi bir sisteminin bir lineer kombinasyonu V sıfır vektörüdür.Bu lineer bir kombinasyonu olarak sıfır vektör ifade etmek için tek yoldur v1, v2, …, vk ise bu vektörler doğrusal bağımsızdır.Verilen bir vektörler kümesinin bu vektörlerinin bir uzay gerimi, eğer herhangi vektör w diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu (ve böylece kümeleri doğrusal bağımsız değildir), ise biz eğer w kümesinden germeyi kaldırırsak aynı kalacaktır. Böylece, doğrusal bağımlı vektörlerin kümesi bir doğrusal bağımsız alt kümesi aynı alt uzayı kapsar anlamında gereksizdir. Bu nedenle, bir vektör uzayı V yi geren vektörlerin lineer bağımsız kümesinin içinden daha çok ilgiliyiz, buna V’nin tabanı deriz. Vektörlerin herhangi kümesi that spans Vnin gerilmiş bir tabanını içerir, ve V içindeki vektörlerin herhangi doğrusal bağımsız kümesi bir tabana gerilebilir(yayılabilir).[2] Buradan çıktığı üzere biz seçim aksiyomu olarak kabul edersek, her vektör uzayının bir tabanı vardır;[3] yine de, bu doğal olmayan baz olabilir, ve gerçekten de, hatta inşa edilebilir olmayabilir. Örneğin, burada Kesirli üzerinde bir vektör alanı olarak kabul edilen reel sayılar için bir temel var, ama hiçbir açık temel inşa edilmemiştir.

V vektör uzayının herhangi iki tabanı aynı kardinalitesi varsa, buna V’nin boyutu denir. Bir vektör uzayının boyutu vektör uzayı için boyut teoremi ile iyi-tanımlıdır. Eğer V’nin bir tabanı ögelerin sonlu sayısı varsa, V’ye bir sonlu-boyutlu vektör uzayı denir. Eğer V sonlu-boyutlu ve U V’nin bir alt uzayı ise dim U ≤ dim V. Eğer U1 ve U2 V'nin alt uzayı ise

 .[4]

Birçoğu sonlu boyutlu vektör alanlarına önemi sınırlar. Lineer cebir temel bir teoremi aynı boyutun tüm vektör uzaylarının izomorf olduğunu belirtiyor,[5] eş yapının karakterize edilmesi için bir kolay bir yol verir.

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ Roman (2005, ch. 1, p. 27)
  2. ^ Axler (2004), pp. 28–29
  3. ^ Bir tabanın varlığı, sayılabilir şekilde oluşturulmuş vektör uzayları için ve iyi sıralı vektör uzayları için basittir, ancak genel olarak mantıksal olarak seçim aksiyomuna eşdeğerdir.
  4. ^ Axler (2204), p. 33
  5. ^ Axler (2004), p. 55
  1. ^ Bu aksiyom bir işlemin bileşimi varsayımı değildir, burada sorun içinde iki işlem, skaler çarpım: bv; ve alan çarpımı: ab.

Konuyla ilgili yayınlarDüzenle

Tarih
  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" ([1]), American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
  • Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.
tanıtım ders kitapları
  • Bretscher, Otto (28 Haziran 2004), Linear Algebra with Applications (3. bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0 
  • Farin, Gerald; Hansford, Dianne (15 Aralık 2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2 
  • Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (11 Kasım 2002), Linear Algebra (4. bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-008451-4 
  • Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra 
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9. bas.), Wiley International 
  • Lay, David C. (22 Ağustos 2005), Linear Algebra and Its Applications (3. bas.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
  • Kolman, Bernard; Hill, David R. (3 Mayıs 2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9. bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7. bas.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8 
  • Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3. bas.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 
  • Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1. bas.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 
  • Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2. bas.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0 
  • Strang, Gilbert (19 Temmuz 2005), Linear Algebra and Its Applications (4. bas.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
ileri ders kitapları
Çalışma kılavuzları ve anahatları
  • Leduc, Steven A. (1 Mayıs 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6 
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (6 Aralık 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3. bas.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9 
  • Lipschutz, Seymour (1 Ocak 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3 
  • McMahon, David (28 Ekim 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3 
  • Zhang, Fuzhen (7 Nisan 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0 

Dış bağlantılarDüzenle

Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

Çevrimiçi kitaplarDüzenle