Fonksiyon

her girdi değerine bir çıktı değeri atayan matematiksel işlem

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.[1]

Matematiksel tanım değiştir

Fonksiyonun matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:

  ve   iki küme olmak üzere ve  ,   kartezyen çarpımının şu özelliğini sağlayan bir alt kümesi olmak üzere:

Her   için,   ilişkisini sağlayan
bir tane   elemanı vardır.

Bu durumda   üçlüsüne fonksiyon adı verilir.  ,   fonksiyonunun tanım kümesidir,   ise varış (görüntü) kümesidir.

  fonksiyonuna   adı verilirse, verilen bir   için  'nin   ilişkisini sağlayan tek   elemanı   olarak gösterilir. Kimi zaman   yerine   yazıldığı da olur. Yani her   için   olur. Ayrıca   kümesine   fonksiyonunun grafiği adı verilir.[2]

Fonksiyonu matematiksel olarak tanımlamak için bir kural zorunluluğu yoktur. Ama  'nin bir küme olma zorunluluğu vardır.

Eğer   ise   üçlüsünün bir fonksiyon olabilmesi için  'nin boş küme olması gerektiği açıktır, bu durumda bu   üçlüsü boş fonksiyondur. Çizgileri düşey doğruları hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için f (x) fonksiyondur.

Örnekler değiştir

  ve   iki küme ise,  'nın her elemanını bir şekilde  'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiştir. Mesela   (gerçel sayılar kümesi),   de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani   olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı:  'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi   olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la,   sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte  'dan  'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon   sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için   yazılır.

  yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun.   fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu,  'dan  'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden   kümesine giden bir fonksiyondur.

 'dan  'ye giden bir   fonksiyonu,   kümesinin her elemanını  'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İleride, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)

Özet olarak, verilmiş bir   fonksiyonu,  'nın her elemanını bir şekilde  'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.

Yukarıdaki örnekte, kural,   olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca   ve   kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile   ve   kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukarıdaki örnek üzerinden gidelim:

Yukarıda   R ve   almış ve fonksiyonu   kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi   yerine   alırsak ve formülü ve   kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen   fonksiyonunu gene   ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır.  'den  'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela   ile gösterilebilir.

Bunun gibi,   kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela   ise, kare alma kuralı  'dan  'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukarıdakilerle karışmasın diye,   ya da   ile değil, bir başka sembolle, mesela   ile gösterilir.

Aynı şekilde  'den  'e giden bir fonksiyon,   ya da   ile değil, mesela   ile gösterilmelidir.

Yukarıda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir   fonksiyonu,   kümesinin her elemanını  'nin bir elemanına götürür, yani  'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi  'den  'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da   (doğal sayılar kümesi) ise,   kuralı,  'dan  'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü  'dir ve   olmasına karşın   sayısı  'de değildir. Öte yandan bu   kuralı,  'den tam sayılar kümesi  'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir   fonksiyonu,  'nın her elemanını  'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani  'nın aynı elemanı  'nin iki ayrı elemanına gidemez.[3] (Yukarıda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela   ise,  'nin bir   elemanını   denkleminin   çözümlerine götüremez, çünkü eğer   değilse, bu denklemin R'de iki değişik   çözümü vardır, nitekim   denkleminin çözümleri   ve  'tir. Burada,  'nin  'e mi yoksa  'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir   fonksiyonunda,  'nın her elemanını  'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Tanım kümesi ve değer kümesi değiştir

Bir   fonksiyonunda,  'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir.  'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Görüntü değiştir

 
Karmaşık üstel grafiğin yüzey grafikleri fonksiyonu

Eğer   ise  'e  'in   altında görüntüsü adı verilir.  'nin

 

altkümesi   olarak gösterilir ve bu kümeye  'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi   yerine  'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)

Mesela   kuralıyla tanımlanan   (-3,5)   R fonksiyonunun görüntü kümesi   aralığıdır.

Fonksiyon eşitliği değiştir

  ve   fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her   için   olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

Durağan (sabit) fonksiyonlar değiştir

  ve   iki küme olsun ve   olsun.  'nın her elemanını  'nin bu   elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir.   değerini alan sabit fonksiyonu   olarak gösterirsek, o zaman   fonksiyonu, her   için   kuralıyla tanımlanır. Not:   ve   kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak,   yerine   yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit   fonksiyonu" adı verilir.

Bileşke mümkün olduğunda  'dir. Ama  'dir.

Eğer   ya da  'nin tek bir elemanı varsa, o zaman  'dan  'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Boş fonksiyon değiştir

Eğer   ve   ise,   'ye giden bir fonksiyon yoktur.

Eğer   ise,   hangi küme olursa olsun,  'dan  'ye giden bir ve tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Özdeşlik fonksiyonu değiştir

Eğer   bir kümeyse, her   için Id  kuralıyla tanımlanan Id  fonksiyonuna  'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Bir fonksiyonun kısıtlanışı değiştir

Eğer   bir fonksiyonsa ve  ,  'nın bir altkümesiyse, o zaman   fonksiyonunu   altkümesine kısıtlayabiliriz, yani  'nin sadece   kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon

 

olarak yazılır ve bu fonksiyona  'nin  'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer   ise   eşitliği geçerlidir.

Varış kümesini değiştirmek değiştir

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir:   bir fonksiyon olsun.  ,  'nin görüntü kümesi  'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman   tanım kümesini ve   kuralını değiştirmeden yeni bir   fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.

Fonksiyonların yapıştırılması ya da birleşimi değiştir

  ve   iki fonksiyon olsun.   üzerinde   olan,   üzerinde   olan ve  'den  'ye giden bir   fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer   ise   olmalı. Eğer   ise   olmalı. Ama   olduğunda,   için   ya da   arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer   ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her   için  , yani   ve   fonksiyonları   kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle  . O zaman   fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:

  eğer   ise
  eğer   ise.

Bu fonksiyona   ve   fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarıda gösterildiği gibi bu fonksiyon   olarak yazılır.

Mesela   fonksiyonu   olarak tanımlanmışsa ve   fonksiyonu   olarak tanımlanmışsa, o zaman   fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur:  .

Elbette   ve  .

Gene doğal olarak   diye bir fonksiyon varsa   diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.

Yukarıdaki yapıştırmayı yapabilmemiz için   ve   fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer   ve   iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların   kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman   üzerinde   olan,   üzerinde   olan bir   fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa:   bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her   göstergeçleri (endisleri) için   ve   fonksiyonlarının   kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her   ve her   için   eşitliğini sağlayan bir   fonksiyonu,

"eğer   ise  "

kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.

Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon.   bir fonksiyon olsun.  'nın her   altkümesi için,  'nin   altkümesi şöyle tanımlanır:

 .

Bu   yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü  'nın   altkümesi bal gibi de aynı zamanda  'nın bir elemanı olabilir, o zaman   ifadesinin   fonksiyonunun  'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukarıdaki gibi  ' nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela,   olsun.   olsun.   fonksiyonu,  ,   olarak tanımlansın. Ve son olarak   olsun.  , hem  'nın bir elemanı hem de bir alt kümesidir.   eleman olarak görüldüğünde   olur ama altküme olarak görüldüğünde   olur. Belki bu yüzden

 

tanımı yerine,

 

tanımını yapmak daha yerinde olur.

Eğer  ,  'in alt kümeleri kümesiyse, yukarıdaki   kuralı,  'ten  'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu   fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.

Alakalı maddeler değiştir

 
X kümesindeki her eleman (bir giriş) , Y kümesindeki bir elemanla mutlaka eşlenmelidir. (bir çıkış)
 
Bu gösterim bir fonksiyon (fonksiyon) değildir. (Bir girişe iki çıkış vardır.)
 
Örnek bir fonksiyon (fonksiyon) grafiği
 

Gönderme örnekleri değiştir

 
  • İki değişkenli göndermeler de vardır.
 
  • Verilen sıraya karşılık gelen çift sayıyı söyleyen bağıntı bir göndermedir: f(n)=2n.
  • Bir küme üzerinde tanımlı bir ikili işlem, göndermedir: f(x,y)=x+y.
  • Diziler birer göndermedir.
  için   yani  

Tanım değiştir

A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir.    

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir:   göndermesi için,  

buradaki   sembolü y nin biricik olduğunu ifade eder.

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.

 

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Mesela Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir.

 

Böylece  'den  'ye giden bir   fonksiyonu tanımlanır.

Göndermelerin kümesel özellikleri değiştir

  şeklinde tanımlı bir gönderme,

  • Birebir ise, A kümesinde tanımlı olduğu her değeri B kümesinden ayrı bir ögeye eşler. Matematiksel olarak; her x1, x2 €A için f(x1)=f(x2) => x1=x2
  • İçine ise B kümesinde, eşlenmemiş en az bir değer vardır.
  • Örten ise A kümesindeki bütün ögeler için tanımlıdır.

Matematiksel olarak; her y € B için en az bir x€A vardır öyle ki; f(x)=y'dir.

Bilgisayar bilimi ve göndermeler değiştir

Bilgisayarda göndermelere Türkçede genellikle fonksiyon adı verilir.

Kaynakça değiştir

  1. ^ "FONKSiYONLARIN GÜNLÜK HAYATTAKi KULLANIMI". prezi.com. 17 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2023. 
  2. ^ Adams, Robert A. (2018). Calculus: a complete course. Pearson. s. 23. ISBN 9780134154367. 
  3. ^ "Fonksiyon Nedir?". 3 Aralık 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. 

Ayrıca bakınız değiştir