Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.
,
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa,
de
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman
fonksiyonunu her
için,
![{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a73f8d834a602ee506ac323b8a36ce17ac2b9c)
kuralıyla tanımlanan
kümesinden
kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona
ve
fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.
Başka bir deyişle, bileşke
ve ![{\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f12f9c681312822e0e68d77b413ffb1e0f76af)
fonksiyonlarından
![{\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddab398428573dd9b76ae6e99a12c049a5765ef)
fonksiyonunu üretir.
ve
fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için
fonksiyonunun değer kümesi,
fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.
Eğer
,
kümesinden
kümesine,
de
kümesinden
kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem
fonksiyonundan hem de
fonksiyonundan söz edilebilir.
Bileşke,
'ten
'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk
kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id
, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk
kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.
(gerçek sayılar kümesi) olsun. fonksiyonu ve fonksiyonu olarak tanımlansın. O zaman,
-
dir. Ancak
-
dir. Demek ki
- ,
yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.
- dört küme olsun.
- ,
- ,
-
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:
- ,
- ,
- ,
- .
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
-
eşitliği geçerlidir. kümesinden herhangi bir elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu elemanında değerlendirilirse
-
ve
-
eşitliklerine ulaşılır.
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani
- .
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani eşitliği çıkar.