Dördey

Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine (ab = ba) sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

William Rowan Hamilton

Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması C0,2(R) = C03,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

TanımDüzenle

Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

 .

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

 
 

Çarpma ise

 

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

 

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.

Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.

Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.

Taban ögelerinin çarpımıDüzenle

denklikler

 ,

burada i, j ve k H nın taban ögeleridir,i, j ve k nın tüm olası çarpanlarını belirtir .

örneğin −1 = ijk nın sağ çarpanlarının her ikisi de k ile verilir

 

Diğer tüm olası çarpanlar benzer yöntemlerle belirlenebilir

 

olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir,bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder.

Hamilton çarpımıDüzenle

iki a1 + b1i + c1j + d1k elementler için ve a2 + b2i + c2j + d2k, burada çarpıma, Hamilton çarpımı (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k) denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:

 
 
 
 

Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları çoğaltılabilir:[1]

 
 
 
 

Sıralı liste formuDüzenle

Hnın 1, i, j, k tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar:

 

ise taban ögeleri:

 

ve toplam ve çarpım için formüller:

 
 

Dördey değişkenlerinin bir fonksiyonuDüzenle

bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.

Üstel, logaritma, ve kuvvetDüzenle

bir dördey veriliyor,

q = a + bi + cj + dk = a + v,

üstel

 

olarak hesaplanıyor ve

 .[2]

bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz

 

burada açı θ ve birim vektör   ile tanımlanıyor:

 

ve

 

Herhangi birim dördey  .olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir

bir keyfi (gerçek) üstel   için bir yükselen dördeyin kuvveti ile veriliyor:

 

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ Hazewinkel (2004), ss. 12.
  2. ^ "Lce.hut.fi" (PDF). 26 Eylül 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Temmuz 2014. 

Dış makaleler ve kaynaklarDüzenle

Kitaplar ve yayınlarDüzenle

Bağlantılar ve uzman yazılarıDüzenle

Şablon:Number Systems