Türev

Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi (eğer varsa), fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun (yani türevi alınan fonksiyonun) türevi denir.

Türev için birden fazla farklı gösterim vardır. En yaygın kullanılan ikisi Lagrange gösterimi olan türev işareti ve Leibniz gösterimidir. Fizikçiler arasında Newton gösterimi de yaygındır. Gottfried Wilhelm Leibniz'in adını taşıyan Leibniz gösterimi, iki diferansiyelin oranı olarak gösterilirken, türev işareti için (′) kullanılır. Daha yüksek mertebeden gösterimler tekrarlanan türeve işaret eder ve bunlar genellikle Leibniz gösteriminde diferansiyellere üst simgeler eklenerek, türev işaretinde ise işaret sayısı artırılarak gösterilir. Daha yüksek mertebeden türevlerin fizikte uygulamaları yaygındır. Örneğin, hareket eden bir cismin zamana göre konumunun birinci türevi cismin hızı iken, konumun zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türev cismin ivmesidir. Diğer deyişle, ivme, hızın zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türevdir.

Türevler, birden fazla gerçek değişken üzerinden tanımlı fonksiyonlar için de genelleştirilebilir. Bu genellemede, türev, grafiği (uygun bir çevirme veya döndürmeden sonra) orijinal fonksiyonun grafiğine en iyi doğrusal yaklaşım olan doğrusal bir dönüşüm olarak yeniden yorumlanır. Jacobi matrisi, bağımsız ve bağımlı değişkenlerin seçimiyle verilen bir baza göre bu doğrusal dönüşümü temsil eden matristir ve bağımsız değişkenlerin her birine göre kısmi türevler alarak hesaplanabilir. Birden fazla değişkenin gerçel değerli bir fonksiyonu için, Jacobi matrisi gradyan vektörüne indirgenir.

Limit üzerinden tanım

değiştir
 
Fonksiyonun grafiği siyah, teğet geçen doğrunun grafiği kırmızı renkte gösterilmiştir. Teğet çizginin eğimi, fonksiyonun türevine eşittir.
 
Türevin geometrik tarifi

Bir gerçel değişkenli   fonksiyonun tanım kümesindeki bir   noktasındaki türevini hesaplamak için tanım kümesinde bu   noktasını içeren bir açık aralık olmalıdır. Bu koşulda, eğer

 

varsa; yani, limit bir gerçel sayıya eşitse, o zaman   fonksiyonuna   noktasında türevlenebilir ya da  'nin   noktasında türevi vardır denir. O halde,

 

yazılır. Eğer limitin değeri   ise, o zaman,  'ye  'nin   noktasındaki türevi denir ve kısa bir gösterimle

 

olarak yazılır.

Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda,  'ye   noktasında türevlenemez,  'nin a noktasında türevi yoktur ya da  , a noktasında türevli değildir denir.

Yukarıdaki limit   civarında doğrudur. Başka bir deyişle   sayısı   civarında  'a yaklaştıkça   sayısı   civarında  'ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı, eğer fonksiyonun tanımlı olduğu uç noktalarda türev alma ihtiyacı varsa, limit   değerinin tanlı olduğu taraftan, yani soldan limit ya da sağdan limit olarak alınmalıdır.

ε-δ tanımı

değiştir

Limit üzerinden verilen türev tanımı ε-δ limit tanımı üzerinden de yazılabilir. Eğer limit varsa ve  'ye eşitse, o zaman her   için bir   vardır öyle ki bütün   koşulunu sağlayan ve sıfıra eşit olmayan her   için   sağlanır. Burada sol taraftaki dik çubuklarla gösterilen mutlak değerdir.

Süreklilik ve türevlenebilme

değiştir
 
Bu fonksiyonun işaretlenen noktada fonksiyon aynı noktada sürekli olmadığı için türevi yoktur.

Eğer bir   fonksiyonu   noktasında türevlenebilir ise, o zaman   noktasında noktada sürekli olmak zorundadır. Mesela, bir nokta seçelim ve bu noktada sıçrama gösteren basamak fonksiyonunu ele alalım. Diğer deyişle, fonksiyon a noktasından küçük sayılar için 0 değerini alacaktır, geriye kalan noktalarda ise 1 değerini alacaktır. Limitin tanımına bakıldığı zaman

  • Eğer   pozitif bir sayı ise   ifadesi 0'a eşit olacaktır. Yani sağdan limit 0'a eşittir.
  • Eğer   negatif bir sayı ise   sayısı (negatif kalarak)  'a yaklaştıkça   ifadesi  'a doğru gidecektir. Yani soldan limit yoktur.
 
Mutlak değer fonksiyonu süreklidir ama x = 0'da türevli değildir. Bu noktadaki teğet doğruların eğimleri sağdan ve soldan yaklaşımda aynı değere yaklaşmazlar.

Ancak bir fonksiyon tanım kümesindeki her noktada sürekli ise, bu özellik, fonksiyonun her yerde türevli olacağı anlamına gelmez. Mesela, mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ama türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan   limitinin bulunamamasıdır. Ancak, bu fonksiyon   haricindeki her noktada türevlidir. Bir diğer örnek olarak,   fonksiyonu verilebilir. Bu fonksiyon 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni   limitinin  , yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken,   fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Uygulamada karşılaşılan türevlerin çoğunun her ya da hemen hemen her yerde türevi vardır.

Gösterim

değiştir

Bir fonksiyonun türevini yazmanın yaygın bir yollarından biri, Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 1675 yılında tanımlanan ve türevi iki diferansiyelin (mesela   ve  ) bölümü olarak gösteren Leibniz gösterimidir. Bu kullanım, bir fonksiyonu   olarak yazarken, yani, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında fonksiyonel bir ilişki gösterilmek istendiğinde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu gösterimde, birinci türev   ile gösterilir ve y'nin x'e göre türevi şeklinde okunur. Bu biçimde yazılan türev gösterimi aynı zamanda bir türev operatörünün verilen bir fonksiyona uygulanması olarak da yorumlanabilir. Diğer deyişle,   yazılırsa, bu, aynı zamanda,   üzerinde x'e göre türev alma operatörü olan  'in uygulanması olarak yorumlanabilir. Daha yüksek türevler, mesela  'in  'inci mertebeden türevi, şu gösterim kullanılarak ifade edilir:  . Örneğin,   yazıldığında, türevin türevinin alındığını gösterir ve bu tür gösterim uygulamada çok kullanışlı hale gelir. Bazı alternatiflerinin aksine, Leibniz gösterimi, paydada türevlendirme için değişkenin açıkça belirtilmesini içerir ve bu da birden fazla birbiriyle ilişkili nicelikle çalışırken belirsizliği ortadan kaldırır. Bir bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile ifade edilir. Eğer,   ve   ise, o zaman   olur.

Türev için bir diğer yaygın gösterim, bir fonksiyonun hemen yanında kesme işaretine benzeyen türev işaretinin kullanılmasıdır; bu gösterim, aynı zamanda Joseph-Louis Lagrange'a atfen Lagrange gösterimi olaraka da bilinir. Birinci türev bu gösterimde   halinde yazılır ve f'nin türevi olarak okunur. Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü türevler şu şekilde yazılabilir:   ve  . Bu noktadan sonraki daha yüksek mertebeden türevlerin sayısını belirtmek için bazı yazarlar üst simge olarak Roma rakamlarını kullanırken, diğerleri sayıyı parantez içine koyar:   veya   gibi. Genel durumda ise,   kullanılır.

Newton gösteriminde veya nokta gösteriminde, zamana göre türevi temsil etmek için bir fonksiyon sembolünün üzerine bir nokta yerleştirilir. Eğer   zamana bağlı bir fonksiyonsa, o zaman birinci ve ikinci mertebeden türevler sırasıyla   ve   biçiminde gösterilirler. Bu gösterim yalnızca zaman veya yay uzunluğuna göre türevler için kullanılır. Kullanımı, fizik ve diferansiyel geometrideki diferansiyel denklemlerde de mevcuttur. Ancak, nokta gösterimi yüksek mertebeden türevler (4 veya daha fazla mertebeden) için yönetilemez hale gelir ve birden fazla bağımsız değişkenle baş edemez.

Başka bir gösterim ise diferansiyel operatörü sembolüyle gösteren D-gösterimidir. Bu gösterimde türevi gösterirken   operatörü kullanılır. Mesela,  'in birinci türevi gösterilirken   yazılır. Daha yüksek mertebeden türevler için üst simge kullanılır:  . Bu notasyona bazen Euler gösterimi denir; ancak, bu gösterim Euler tarafından değil Louis François Antoine Arbogast ilk defa kullanılmıştır. Bu notasyonun kısmi türeve yönelik kullanımı da çok elverişlidir. Kısmi türevi belirtmek için, türevlenen değişken bir alt simge ile gösterilir, örneğin   fonksiyonu için ⁠ 'e göre kısmi türev   veya   olarak yazılabilir. Daha yüksek kısmi türevler ise üst simgeler veya çoklu alt simgelerle gösterilebilir. Örneğin, yine   fonksiyonu için   ve   yazılabilir.

Türev alma kuralları

değiştir

Temel fonksiyonlar için kurallar

değiştir

Aşağıda en yaygın temel fonksiyonların türevleri için kurallar verilmiştir. Burada,   gerçek bir sayıdır ve   doğal logaritmanın tabanı ve yaklaşık olarak 2.71828'dir.

Birleşik fonksiyonlar için kurallar

değiştir
  • Kuvvet fonksiyonlarının türevi (kuvvet kanunu):
     
  • Üstel fonksiyon, doğal logaritma ve genel tabanlı logaritmanın türevi
     
     ,  
     ,  
     ,  
  • Trigonometrik fonksiyonların türevi
     
     
     
  • Ters trigonometrik fonksiyonların türevi
        için
        için
     

Basit işlemlerle elde edilmiş fonksiyonlar için türevler

değiştir

Aşağıda, temel fonksiyonlardan basit aritmetik işlemler veya bileşke yoluyla elde edilmiş fonksiyonların türevini hesaplamak için bilinen en temel kurallardan bazıları verilmiştir. Bu amaçla   ve   fonksiyon olsun.

  • Sabit fonksiyon: eğer   sabitse, o zaman her   için
     
  • Toplama kuralı:
      (her   ve   fonksiyonu ve bütün   ve   gerçel sayıları için).
  • Çarpma kuralı:
      (her   ve   fonksiyonu için)
Özel bir durum olarak, her   sayısı için   olur çünkü is   sayısı sabittir ve   olur.
  • Bölme kuralı:
      (her   ve   olan her   fonksiyonu için)
  • Bileşke fonksiyonlar için Zincir kuralı : Eğer  ise, o zaman
     

  olsun. O zaman,   Burada ikinci terim zincir kuralı kullanılarak ve üçüncü terim çarpım kuralı kullanılarak hesaplanmıştır. Ayrıca,  ,  ,  ,  ,   ve sabit   gibi temel fonksiyonların türevleri de kullanıldı.

Yüksek mertebeden türevler

değiştir

Daha yüksek mertebeden türevler, bir fonksiyonun tekrar tekrar türevlenmesinin sonucudur.   türevlenebilir bir fonksiyon ise

  •  nin birinci türevi fonksiyonun türevidir ve   ile gösterilir.
  •  nin türevi ise  nin ikinci türevidir ve   ile gösterilir.
  •  nin türevi ise  nin üçüncü türevidir ve   ile gösterilir.

Bu süreç tekrarlanarak, eğer türev varsa, fonksiyonun (n-1)inci türevi başlangıçta alınan fonksiyonun n'inci türevidir. Gösterim kısmında verilen bilgiye de dayanarak,

  •  in türevi  nin n'inci türevidir ve   olarak gösterilir.

Ck fonksiyon

değiştir

Arka arkaya   tane türevi hesaplanabilen fonksiyonlara   kere türevli ya da k kere türevlenebilir fonksiyonlar denilir. Eğer,  inci türev aynı zamanda sürekli ise o zaman bu fonksiyon   sınıfına aittir. Daha matematiksel bir ifadeyle, bir   kümesi üzerinde tanımlı bir   fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon   kere türevlenebilen ve  'inci türevi sürekli olan bir fonksiyon ise, o zaman   yazılır ve fonksiyona   kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

C fonksiyon

değiştir

Tanım kümesindeki bütün noktalarda sonsuz kere türevli olan, yani, keyfi bir   pozitif bir tamsayısı için  'inci türevi var olan bir fonksiyona düzgün fonksiyon ya da sonsuz türevli fonksiyon denir.[not 1] Diğer deyişle,   kere türevlenme sayısında herhangi bir sınır yoksa, yani fonksiyon için hesaplanabilen yüksek mertebeden herhangi bir türevinin türevi yine hesaplanabiliyorsa, bu fonksiyona sonsuz kere türevli ya da düzgün fonksiyon denir. Düzgün bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için   gösterimi kullanılır. Daha matematiksel bir ifadeyle, bir   kümesi üzerinde tanımlı bir   fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon ise, o zaman   yazılır.

Diğer boyutlarda türev

değiştir

Vektör değerli fonksiyonlar

değiştir

Vektör değerli bir fonksiyon   gerçel sayılar üzerindeki gerçel bir değişkeni bir   vektör uzayındaki vektörlere gönderir. Bir vektör değerli fonksiyon, koordinat fonksiyonlarına ayrılabilir yani   yazılabilir.   ve  'deki parametrik eğriler bu fonksiyonların güzel bir örneğidir. Bu fonksiyonların koordinat fonksiyonlarının here biri gerçel değerli olduğu için yukarıda verilen türev tanımları her biri için geçerlidir. O zaman,  'nin türevi  inin koordinate fonksiyonlarının türevlerinden oluşan bir vektör olur ki buna da tanjant ya da teğet vektör denilir.

Kısmî türev

değiştir

Kısmî türev, çok değişkenli bir fonksiyonun sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmî diferansiyel denklem denir.

Kısmî türevin tanımı

değiştir

 

 

şeklinde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki   değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

 

 

 

ifadesine   fonksiyonunun   değişkenine göre kısmî türevi denir.

 

şeklinde gösterilir.

  ise;

 

 

Örnek:

 

Yönlü türev

değiştir

Eğer f bir Rn üzerinde gerçek değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmî türevi içinde çeşitli ölçmeler ise (mesela f bir x ve y fonksiyonunun x yönü ve y yönü içinde f 'nin kısmî türevinde çeşitli ölçmeler ise) buna yönlü türev denir.

Bununla birlikte köşegen çizgi y = x boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur.

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor.

 

bir vektörse vnin yönü içinde fin yönlü türevinin x noktasında sınırıdır.

 

Bâzı durumlarda bu vektörün uzunluğunu değiştirme sonrası yön türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu bir birim vektör yönünde bir yönde türevinin hesaplanması içinde sorunu açmak için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için bunu v = λu varsayalım.h = k fark katsayısı içinde yerine konur.Aradaki fark katsayısı:

 

Bu u sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için Dv(f) = λDu(f). Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

Eğer f'in tüm kısmî türevleri var ve x'de sürekli ve formülü ile v yönünde f içinde belirlenen yönlü türev ise

 

Bu toplam türevin tanımının bir sonucudur. Bu yönlü türev, aşağıda v içinde doğrusaldır. Bu da

Dv + w(f) = Dv(f) + Dw(f).

demektir. Aynı tanım, ayrıca f olduğunda Rm içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde yönlü türev Rm içinde bir vektördür.

Toplam türev

değiştir

Bir   fonksiyonu  deki açık bir kümeden  'e tanımlanmış bir fonksiyonsa,  'nin seçilen bir noktadaki ve yöndeki yönlü türevi  'nin yine aynı noktada ve aynı yönde en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Ancak,   ise yönlü türev  'nin davranışı hakkında tam bir açıklama veremez. Toplam türevi bu bağlamda tam bir açıklama sağlamaktadır. Yani, bir   vektöründen başlayan herhangi bir   vektörü için aşağıdaki doğrusal yaklaşım sağlanır:  

Benzer bir şekilde, tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlana türevde de   buradaki yaklaşım hatasını olabildiğince küçük yapacak şekilde seçilir.  'nin bir   noktasındaki toplam türevi  ,   olacak şekilde biricik olarak tanımlanan doğrusal bir dönüşümdür. Burada,  ,   içinde bir vektördür; ancak,     içinde bir vektördür.

Toplam türev, eğer bir noktada varsa, o zaman yine aynı noktada bütün kısmi türevler ve yönlü türevler de vardır. Bu halde, bütün   vektörü için,  'nin   yönündeki yönlü türevi   olur. Eğer  , koordinat fonksiyonları cinsinden; yani,   olacak şekilde yazılırsa, o zaman toplam türev kısmi türevlerin matrisi olarak ifade edilebilir:   Bu matrise  'nin   noktasındaki Jacobi matrisi denir.

Ayrıca bakınız

değiştir

Kaynakça

değiştir


Kaynak hatası: <ref> "not" adında grup ana etiketi bulunuyor, ancak <references group="not"/> etiketinin karşılığı bulunamadı (Bkz: Kaynak gösterme)