Ana menüyü aç

Gama fonksiyonu

Reel eksen boyunca gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.

AlıştırmaDüzenle

Öncelikle;

  eşitliğini ele alalım.
  alırsak;   olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

  alırsak;
  olması gerekir. Yani
   olmalıdır.
 ' olduğundan;
   'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
   işlemine karşılık gelmelidir.
 
 

Bu da

   varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

TanımDüzenle

Ana TanımDüzenle

 
karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift   gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

 

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

 

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

 

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

 
 
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

  genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ( z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).[1]

Alternatif tanımlamalarDüzenle

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

 

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

 

değişik bir gösterim...

 

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

   ,   yakınsaklık için   olmalıdır.

ÖzelliklerDüzenle

Pi fonksiyonuDüzenle

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

 

böylece

her negatif olmayan n için.

 

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

 

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

 

ayrıca bazen

 

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap   ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

 

Özel değerlerDüzenle

 

Raabe formülüDüzenle

1840 yılnda Raabe şunu kanıtladı,

 
özel olarak, eğer   ise
 

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

KaynakçaDüzenle

  • Şablon:Citizendium
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.

Dış bağlantılarDüzenle