Gamma dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre olur.

Gamma
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Gamma dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonlari grafiği
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Gamma dağılımları için yığmalı dağılım grafiği
Parametreler şekil (reel)
ölçek (reel)
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan basit kapalı form yok
Mod
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon

KarakteristiklerDüzenle

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

 

Olasılık yoğunluk fonksiyonuDüzenle

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

 

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi   ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi   kullanılarak şöyle elde edilir:

 
Eğer   bir pozitif tam sayı ise, o halde
 

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonuDüzenle

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

 

ÖzelliklerDüzenle

ToplamaDüzenle

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken Xiin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde

 

Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

ÖlçeklemeDüzenle

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesiDüzenle

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri   ve  ; ve doğal istatistikleri   ve   olur.

Enformasyon entropisiDüzenle

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

 
 
 

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımıDüzenle

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

 

Laplace dönüşümüDüzenle

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

 

Parametre tahminiDüzenle

Maksimum olabilirlilik tahminiDüzenle

Birbirlerinden bagimsiz ve aynı dagilim gösteren N sayida gozlem , ,  , için olabilirlik fonksiyonu sudur:

 

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

 

Bunun  'ya gore maksimim değerini bulmak için bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi için maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

 

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

 

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak icin birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

 

Burada

 

olup bir digamam fonksiyonudur.

k icin kapali-sekilli bir cozum bulunmamaktadir. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gösterir ve bunun icin bir numerik cozum istenirse, ornegin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik cozumler icin ilk değer ya "momentler metodu" kullanılarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

 

Eğer su ifadeyi kullanirsak

 

k yaklaşık şu değerdedir:

 

Bu genellikle gercek değerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yontemi icin iyilestirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmiştir:

 

burada   trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini çok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkâni vardır:

 

ve

 

Ayrıntılar icin bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hataDüzenle

Bilinen değerde k ve bilinmeyen değerde ' , icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (  icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

 

Su ifade verilsin

 

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanılarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

 

parametreleri olan bir gamma dagilimi gösterdigi ortaya cikartilir.

 

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:

 

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

  +/-  

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimiDüzenle

İlişkili dağılımlarDüzenle

Özel dağılımlarDüzenle

  •  , then  

-->

DiğerleriDüzenle

  • Eğer X bir Γ(k, θ) dagilimi gösterirse 1/X k ve θ−1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gösterir.

KaynakçaDüzenle

  • R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. New York: Macmillan, 1978. (Bak Section 3.3.)
  • Eric W. Weisstein, Gamma distribution (MathWorld)
  • [1] Engineering Statistics El Kilavuzu.
  • S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69