Üstel dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında üstel dağılımı bir sürekli olasılık dağılımları grubudur. Sabit ortalama değişme haddinde ortaya çıkan bağımsız olaylar arasındaki zaman aralığını modelleştirirken bir üstel dağılım doğal olarak ortaya çıkar.

Üstel
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler oran veya ters ölçek (reel)
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan
Mod
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon

Tipik karakteristiklerDüzenle

Olasılık yoğunluk fonksiyonuDüzenle

Bir üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekli alır:

 

Burada λ > 0 dağılım için tek parametredir ve çok zaman oran parametresi olarak anılır. Dağılım için destek [0,∞) aralığında verilir. Eğer X rassal değişkeni bu üstel dağılım gösteriyorsa bu şöyle yazılır:

X ~ Üstel(λ).

Ancak bir diğer şekilde değişik parametreleme ile ise üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

 

Burada β > 0 bir ölçek parametresidir ve yukarıda tanımlanan oran parametresi olan λ'nın bir üstü değeri çarpım tersi, yani β=1/λ; dır. Bu çeşit tanımlamada β kalım parametresi çünkü eğer bir rassal değişken X bir biyolojik veya mekanik sistem M için ömür geçirme zaman uzunluğu ise ve X ~ Üstel(β) ise

 

yani M için beklenen hayatta kalım süresi zaman birimleri ile β olur.

Bu ikinci şekilde tanımlama bazen birinci tanımlamadan daha kullanışlı olur ve bazı istatistikçiler bu ikinci tanımı üstel dağılım için standard tanım kabul etmektedirler.

Bu gerçek dikkat çekilmesi gereken bir konu olarak burada işaret edilmektedir. Çünkü iki değişik tanım bazen bir kavram karmaşaklığına neden olmaktadır. Genel olarak üstel dağılımı kullanan istatistikçi birinci tanım kullanırsa

X ~ Üstel(λ)

ve ikinci tanımı kullanırsa

X ~ Üstel(β)

yazılır ve β=1/λ olur.

Yığmalı dağılım fonksiyonuDüzenle

Genel olarak kullanılan bir yönteme göre yığmalı dağılım fonksiyonu şu ifade ile verilir:

 

Ortaya çıkma ve uygulanmaDüzenle

Bir homojen Poisson süreçde varışlar arasındaki zaman dönemlerini tanımlarken üstel dağılım doğal olarak ortaya çıkar.

Üstel dağılım geometrik dağılımin sürekli dağılımlara uzantısı olarak görülebilir. Geometrik dağılım durumu değiştirmek gereken Bernoulli süreçlerinin sayısını tanımlar ve bu yüzden bir ayrık süreçtir. Buna karşılık, durumu değiştirmek için sürekli bir süreç için geçen zamanı tanımlar.

Pratik gerçek hayatta bir değişme oranının (veya her zaman birimi içinde olasılığın) gerçekleşmesi çok nadirdir. Örneğin, bir mobil telefona gelen çağrılar birim saatin gün içindeki yerine değişir. Fakat araştırmamızı günün öyle bir zaman aralığına odaklayabiliriz ki (diyelim öğleden sonra 2 ile 4), bu zaman aralığından gelen telefon çağrı ortalamları kabaca sabit olabilir. Üstel dağılım o halde iyi bir yaklaşık model olarak kullanılabilir ve en son çağrıdan sonra ne zaman aralığından sonra bir yeni çağrının geleceği hakkında üstel dağılım kullanarak tahmin yapabiliriz.

Benzer şekilde uzun ve karmaşık varsayımlar ve açıklamalar pratikte yaklaşık olarak üstel dağılım gösteren değişkenlere da uygulan şu olaylar için de uygulanabilir:

  • bir radyoaktif parçacığın bozunmasına kadar geçen zaman veya bir geiger sayacının birbirini takibedecek düdük seslerinin arasında geçen zamanın tahmini;
  • gelecek telefon çağrısını en son yaptığınız çağrıdan ne kadar zaman sonra yapacağınız;
  • indirgenmis şekilde olan kredi rizikosu modelinde bir firmanın borçluları ile ilgili olarak en son borcunu ödeyemiyecegini bildiren borçludan ne zaman sonra bir başka daha borç ödeyemiyecek borçlu çıkacağını tahmin etmek.

ÖzelliklerDüzenle

Ortalama ve varyansDüzenle

Bir λ oran parametresi ile üstel dağılım gösteren bir X rassal değişkeni için ortalama veya beklenen değer şöyle verilir:

 

Bu verilen pratik örneklerden sağduyu ile çıkarılabilir. Örneğin eğer telefon çağrı ortalama oranı saatte 3 ise (λ), her telefon çağrısı için ortalama 1/3 saat veya 20 dakika (β) beklemek gerekmektedir

X için varyans şöyle verilir

 

BelleksizlikDüzenle

Üstel dağılımın bir önemli niteliği de belleksiz olmasıdır. Bu demektir ki eğer bir rassal değişken T üstel dağılım gösteriyorsa, onun koşullu olasılığı

 

ifadesine uygunluk gösterir. Buna göre, bir hizmet noktasındaki hizmet ve bekleme kuyruğu problemi örneği için bir koşullu olasılık olan ilk varışın 30 saniye geçtikten sonra ortaya çıkmadığını bilerek ilk varıştan sonra 10 saniyeden daha fazla beklemek gereğinin olasılığının, birinci varıştan sonra 10 saniyeden daha fazla bekleme gereğinin koşulsuz başlangıç olasılığı arasında bir fark yoktur. Bu çok kere olasılık hesaplarını ilk gören kişiler tarafından yanlış anlaşılmaktadır:

P(T > 40 | T > 30) = P(T > 10)

gerçeği

T>40 ve T>30

olayları birbirinden bağımsızdır anlamına gelmez. İlk varışa kadar T bekleme zamanının olasılık dağılımının belleksizlik karakteri olduğunu bildirmek

 

olur demektir; yoksa

 

demek değildir çünkü bu ikinci ifade bağımsızlık kavramını açıklar ve burada olaylar bağımsız değildir.

Bütün mevcut dağılımlar arasında sadece üstel dağılımlar ve geometrik dağılımlar belleksizlik özelliği taşırlar.

Üstel dağılımının ayrıca sabit bir tehlike fonksiyonu bulunmaktadır.

DörtebirliklerDüzenle

Bir λ parametreli üstel dağılım için (ters yığmalı dağılım fonksiyonu) şudur:

 

burada 0 ≤ p < 1.

Onun için şu ifadeler dörttebirlikler verir:

birinci dörttebirlik :  
medyan :  
üçüncü dörttebirlik :  

Kullback-Leibler ayrılımıDüzenle

'Gerçek' üstel dağılım olan Exp(λ0) ile ('yaklaşık' dağılım) olan Exp(λ) arasında yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılımı şöyle verilir:

 

Maksimum entropi dağılımıDüzenle

[0,∞) and mean μ, de destekli bulunan bütün sürekli olasılık dağılımları arasında sadece λ = 1/μ parametresi ile üstel dağılımın en yüksek entropisi bulunmaktadır.

Üstel rassal değişirlerin minimumu için dağılımDüzenle

X1, ..., Xn bağımsız oran parametreleri λ1, ..., λn olan üstel olarak dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Bu halde

 

ifadesi de üstel dağılımdır ve bu dağılımın parametresi

 

olur.

Fakat,

 

üstel dağılım göstermez.

Parametre tahmin edilmesiDüzenle

Verilmiş bir değişkenin üstel dağılım gösterdiği bilinmiş olsun ve oran parametresi olan λnın değerinin tahmin edilmesi gerekmektedir.

Maksimum olabilirlilikDüzenle

İlgi gösterilen değişkenden bir bağımsız aynen dağılma gösteren örneklem x = (x1, ..., xn) olarak seçilsin; o halde λ için olabilirlilik fonksiyonu şöyle verilir:

 

burada

 

örnek ortalamasıdır.

Olabilirlik fonksiyonunun logaritmasının türevi şudur:

 

Bu nedenle oran parametresinin maksimum olabilirlilik tahmini şöyle verilir:

 

Bayes tipi çıkarımsal analizDüzenle

Bir üstel dağılımın eşlenik önseli bir gamma dağılımı olur (çünkü üstel dağılım bir özel hal gamma dağılımıdır). Gamma olasılık dağılım fonksiyonunun şu çeşit parametrik tanımı analizde kullanılacaktır:

 

Bu halde p için sonsal dağılım yukarıda tanımlanan olabilirlilik fonksiyonu ve bir gamma önsel ile şöyle ifade edilebilir:

 
 
 

Şimdi p için sonsal yoğunluk bir kayıp olmuş normalizasyon sabiti değerine kadar tanımlanmıştır.

Bunun dağılımı gamma olduğu için bu eksiklik hemen tamamlanabilir ve şu ifade elde edilir:

 

Burada parametre α önsel gözlemlerin sayısı olarak yorumlanabilir ve β önsel gözlemlerin toplamıdır.

Üstel değişebilirleri üretmeDüzenle

Üstel değişebilirler için üstel dağılım üreten kavramsal olarak bir basit yöntem ters dönüşüm örnekleme dayanır: Verilmiş olan bir birim aralıkta, yani [0,1] arasında, bulunan bir tekdüze dağılımdan çekilmiş U rassal değişebiliri verilmiş olsun,

 

değişebiliri bir üstel dağılım gösterir ve   ifadesi

 

ile tanımlanmış bir kuantil fonksiyonu olur.

Bunun yanında, eğer U   aralığında bir tekdüze dağılım gösterirse,   için de aynı özellik gerçektir. Bu demektir ki şu şekilde üstel değişebilirler üretilebilir:

 

Üstel değişebilirlerin diğer yöntemlerle üretilebilmesi Knuth (1998)de [1] ve Luc Devroye (1986) da [2] görülebilir.

Üstel değişebilirleri üretmek için bir hızlı yöntem zigurat algoritması iledir.

İlişkili dağılımlarDüzenle

  veya   olur.

  ve  

ise

 ,

olur yani Y Weibull dağılım gösterir. Özellikle, her üstel dağılım da bir Weibull dağılımıdır.

  • Eğer
  ve  .

ise

 

olur; yani Y bir Rayleigh dağılımı gösterir.

  • Eğer
  ve  .

ise

 ,

olur yani Y Gumbel dağılımı gösterir.

  • Eğer iki bağımsız üstel dağılımı olan   ve   için   ise
 

olur yani Y Laplace dağılımı gösterir.

  • Bağımsız üstel dağılımlar olan   için
 

ise

 

olur; yani Y bir üstel dağılım gösterir.

  • Eger
  and  

ise

 ,

olur yani Y tekdüze dağılım gösterir.

  • Eğer
 .

ise   olur yani X için 2 serbestlik derecesi olan ki-kare dağılımı geçerlidir.

  •   üstel dağılımlı ve bağımsız olsun ve   olsun; o halde  
  •   ise   olur

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, Cilt 2: Seminumerical Algorithms, 3. ed. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. Bak bölüm 3.4.1, say. 133.
  2. ^ Luc Devroye (1986). Tekdüze olmayan rassal değişebilir üretimi 5 Mayıs 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. Bak Bölüm IX 27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., kısım 2, say. 392–401.