Digama fonksiyonu

kompleks düzlem'de Digama fonksiyonu renkli bir noktasına karşı kodlanan değer . Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisiDüzenle

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya   (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

 

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

 

Integral GösterimleriDüzenle

integral gösterimi

  şeklindedir.
  reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz
 

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülüDüzenle

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

 

Taylor serisiDüzenle

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

 ,

yakınsaklık için |z|<1. Burada,   Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisiDüzenle

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

 

Burada   binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülüDüzenle

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

 

Özyineleme formülüDüzenle

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

 

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

 

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

 

burada   Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

 

Gauss toplamıDüzenle

Digama'nın Gaussian toplam formu

  şeklindedir.

Tam sayılar için  . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve   'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

 

ve genelleştirilmiş şekli

 

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremiDüzenle

Pozitif tam sayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

 

Hesaplama & yaklaşıklıkDüzenle

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

 

veya

 
 

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve   Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerlerDüzenle

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

 
 
 
 
 
 

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4
  • Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

Dış bağlantılarDüzenle

  • Cephes - C and C++ language special functions math library
  • [1] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1