Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1). türevi olarak tanımlanır.

Burada

digama fonksiyonu'dur ve gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Integral gösterimleriDüzenle

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

 

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişkiDüzenle

tekrarlayan ilişki

  şeklindedir.

Çarpım teoremiDüzenle

çarpım teoremi   için

  olarak verilir.

ve  ,için digama fonksiyonu adı verilir;

 

Seri gösterimiDüzenle

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

 

m > 0 ve z herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

 

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

 . Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

 

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

 

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak   şeklinde verilebilir.

Burada   Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisiDüzenle

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

 

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle