Hurwitz zeta fonksiyonu

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla

Bu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için mutlak yakınsaktır. Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir.

Analitik devamlılıkDüzenle

Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. artık 1. Sabit terimlerle verilirse

 

burada Γ Gama fonksiyonu'dur ve ψ digama fonksiyonu'dur.

Seri GösterimiDüzenle

q > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi.[1]:

 

Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze tıkız altküme'sidir. Burada   n inci ileri fark iç toplamı olarak görülebilir; bu şöyledir,

 

Burada Δ ileri fark operatorü'dür. Böylece, yazmak istersek,

 
 

Integral GösterimiDüzenle

Bu fonksiyonun integral gösterimi Mellin dönüşümü'nün terimleri içindedir

 

için   and  

Hurwitz formülüDüzenle

Hurwitz formülü bu teoremdir:

 

burada

 

Bu gösterim   aralığı ve   değerleri içindir, burada,   polilogaritma'dır.

Fonksiyonel denklemDüzenle

Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde fonksiyonel denklem'le ilişkili değerleri   tam sayıları için

 

bütün s değerleri için geçerlidir..

Taylor serisiDüzenle

İkinci değişken bir zeta türevi ve bir shift(kayma)'dır:

 

Böylece, Taylor serisi'nin eşik formu vardır:

 

Kapalılık ilişkisi Stark-Keiper formülüdür:

 

tam sayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız Faulhaber formülü tam sayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki.

Fourier dönüşümüDüzenle

Hurwitz zeta fonksiyonunun ayrık Fourier dönüşümü'nde skonulduğunda Legendre chi fonksiyonu olur.

Bernoulli polinomları ile ilişkisiDüzenle

  fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli Bernoulli polinomları'dır:

 

burada   z reel kısmı gösterir. Karşıt olarak,

 

Özel olarak,   değeri için

 

Jacobi teta fonksiyonu ile ilişkisiDüzenle

  fonksiyonuna Jacobi teta fonksiyonu denir, burada

 

  ise ve z kompleks ise, ama bir tam sayı değilse.. z=n tam sayısı için ,bu basitçe

 

Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun fonksiyonel denklem'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tam sayı olmalıdır ve burada z nin   için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz.

Dirichlet L-fonksiyonu ile ilişkisiDüzenle

Dirichlet L-fonksiyonu ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n,k)>1 ise 0<n<k ise .(2s-1)ζ(s),ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu ,Riemann zeta fonksiyonu ile çakışır ve ,sonuç olarak

 

Dirichlet karakteri her zaman mod k 'dır. Ters yönde de bizim lineer kombinasyonumuz var

 

Burada çarpım teoremi

 

şöyle bir genelleştirme kullanılabilir

 

(Bu son formda q değeri bir doğal sayıdır ve 1-qa doğal sayı değildir.)

SıfırlarDüzenle

Eğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger , q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak,Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 <q <1 ve q ≠ 1 / 2, olduğunda ise o zaman 1<Re(s)<1+ε aralığında ε gerçeldir. . Bu Davenport ve Heilbronn[2] tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve Cassels[3] tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi.

Rasyonel değerlerDüzenle

The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the Euler polynomials  :

 

ve

 

Bir de şu var:

 

 değeri için. Burada,   ve   ifadesiLegendre chi function anlamına gelir   as

 

ve

 

For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.

UygulamalarDüzenle

Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır . En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar, ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve dinamik sistemler'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır.istatistik uygulamalarında ;Zipf's kanunu ve Zipf-Mandelbrot kanunu'nda..parçacık fiziği'nde; Julian Schwinger'in bir formülünün içindeki [4] dirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki elektron çift üretimi için kesin sonuç verir.

Özel durumlar ve genellemelerDüzenle

Hurwitz zeta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli poligama fonksiyonu'dur:

 

Hurwitz zeta'nın genelleştirilmiş şekli Lerch transandant'ıdır :

 

ve böylece

 

Hipergeometrik fonksiyon

 

Meijer G-fonksiyon

 

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.
  2. ^ Davenport, H. and Heilbronn, H. On the zeros of certain Dirichlet series J. London Math. Soc. 11 (1936), pp. 181-185
  3. ^ Cassels, J. W. S. Footnote to a note of Davenport and Heilbronn J. London Math. Soc. 36 (1961), pp. 177-184
  4. ^ Schwinger, J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev. 82 (1951), pp. 664-679.

KaynakçaDüzenle