Ana menüyü aç

Riemann zeta işlevi

(Riemann zeta fonksiyonu sayfasından yönlendirildi)
Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Matematikte Riemann zeta işlevi (ya da; Euler-Reimann zeta işlevi), Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta işlevi(Riemann zeta fonksiyonu), farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi;

şeklindedir. Buradaki "S" karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin, köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.[1]

Özel değerlerDüzenle

 
s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

 

Burada B2n bir Bernoulli sayısıdır.

Negatif tam sayılar n ≥ 1 için:

 

Böylece, özel olarak ζ içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü; "1" dışında tüm "m"ler için Bm = 0

pozitif tek tam sayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.

 
1 + 2 + 3 + 4 + · · · ıraksak seriler'e sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki, string teorisi gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..[2]
 
   
Bu doğrusal denklem kinetik kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.[3]
 
Eğer 1'den büyük sayılara yaklaşılıyorsa bu harmonik seridir. Ama onun asıl değeri;
 
Buradaki   Euler–Mascheroni sabitidir .
   
Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması, ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.
    (OEIS'de A013661 dizisi)
Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?[4]
   
Bu Apéry'in sabiti'dir.
   
Fizikteki Stefan–Boltzmann kanununun türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur

GösterimlerDüzenle

Mellin dönüşümüDüzenle

Bir fonksiyon ƒ(x)'in, Mellin dönüşümü şu şekilde tanımlanır:

 

Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer s'in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,

 

Burada Γ Gama fonksiyonunu ifade eder. Reimann, sınır değiştirerek şunu gösterdi:

 

Her s için, burada C başlangıç ve +∞ da son sınırlarıdır ve başlangıcı çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) Asal-değer fonksiyonu ise Re(s) > 1 değerleri ile

 

Bir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu J(x) içerir, bu değerler asal kuvvet pn ve 1/n'in ağırlığı ile böylece

 

Şimdi elimizde;

  var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır,ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulunabilir.

Teta fonksiyonlarıDüzenle

Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile Jacobi teta foksiyonunun terimleri içinde resmen verilebilir

  ile
 

Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

 

Laurent serileriDüzenle

Riemann zeta fonksiyonu tek s = 1'de tek katli bir tek kutup ile meromorfiktir.Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;

 

γn sabitine Stieltjes sabiti deniliyor ve limit ile tanımlanabilir

 

Sabit terim γ0 Euler–Mascheroni sabitidir.

IntegralDüzenle

  tümü için integral ilişkisi

 

tutulanlar doğrudur,Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.[5]

Yükselen faktöriyelDüzenle

Diğer serileri geliştirmede tam karmaşık düzlem için yükselen faktöryel değeri kullanılan

 'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu xs−1; Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.

Hadamard çarpımıDüzenle

Hadamard ,Weierstrass'ın çarpanlama teoreminin temelinde sonsuz çarpım açılımını verdi

 

burada çarpım ζ'nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve yine γ harfi Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir sonsuz çarpım açılımı

 

dır Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde gamma fonksiyonu terimine gereken, ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

Kritik şerit üzerinde logaritmik türevDüzenle

 

burada   kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır, ve toplam ζ'nin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

Küresel yakınsak serilerDüzenle

zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar için s değerleris = 1 + in/log(2) dışında bazı n tam sayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

 

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi, ve genel bilgiler kadar olmadı bu 60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

 

aynı baskı içindedir.

Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

UygulamalarDüzenle

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).

Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.[6]

Sonsuz serilerDüzenle

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.[7] Burada daha öte formüller harmonik sayılar yazısı içindedir

   ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir;       ve    
 
    burada γ Euler sabitidir.
 
    burada    bir karmaşık sayının sanal kısmıni gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

 
 
 
 

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis - official problem description" (PDF). Clay Mathematics Institute. 13 Mart 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Eylül 2009. 
  2. ^ Polchinski, Joseph (1998). String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. s. 22. ISBN 978-0-521-63303-1. 
  3. ^ A J Kainz and U M Titulaer, An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations, pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7, 1992
  4. ^ C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9
  5. ^ Mathematik-Online-Kurs: Numerik – Numerische Integration der Riemannschen Zeta-Funktion
  6. ^ "Dynamical systems and number theory". 
  7. ^ Unless otherwise noted, the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle