Harmonik seriler

Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.

Bir dizinin Harmonik serisi.

serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.

Harmonik serinin IraksamasıDüzenle

Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu serinin ilk 10^43 teriminin toplamı en az 100'dürve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar.

 

Bu çok sayıda 12 terimini içeren harmonik serinin sonsuza ıraksadığı açıkça görülüyor. Serinin 2k-inci kısmı toplamı   ise

 

(serisine yakınsıyor) Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı ortaçağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur,ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir. Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi, 1'le sonsuz aralığında 1x integralinden faydalanılır. sadece asal sayılar'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur.

Alternatif yaklaşımDüzenle

Harmanik serinin toplamına destek için toplamı S ile gösterelim:

 

kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle

 

Basitçe ikinci gurubun sonucu

 

ikinci grup yerini S 'e bırakır

 

Bundan faydalanarak

 

veya sonuç;

 

Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar,ıraksamaya götürür.

Diğer bir denemeDüzenle

geometrik seriler ile başlayalım

 

İki tarafında integrali alınırsa

 

iki tarafında   giderken limitini alırız.

 .

 ,den dolayı toplarsak  

Diğer bir deyişle toplam ıraksaktır.

Alterne harmonik serinin yakınsamasıDüzenle

 
Alterne harmonik seride ilk dört kısmi toplam (siyah doğru parçaları) ln2 ye yaklaşıyor (kırmızı hat ).

Burada alterne harmonik seri 'nin yakınsaması

 

Bu eşitlik Mercator serisi'nin bir sonucudur., Taylor serisi'nin doğal logaritmadaki ikizidir, diğer eşitlik

 

Taylor serisi gösteriminin ters tangent fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.).

Kısmi toplamDüzenle

Hn=  

serisinde n.nci kısmi toplamı n.nci harmonik sayıyı verir,bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti'ne yakınsar.

Harmonik serinin genelleştirilmesiDüzenle

Harmonik serinin genel formu

 

burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır.

P-serisiDüzenle

p-serisi 'nde p pozitif gerçel bir sayıdır

 

integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri, p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p)'yi yani,Riemann zeta fonksiyonu'nu verir.