Beta fonksiyonu

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

beta fonksiyonunun kontür çizimi
Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi

için bu özel fonksiyon'unun tanımı


Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

ÖzelliklerDüzenle

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

 

yerine konulan Birçok diğer formları da vardır:

 
 
 
 
 
 
 


Burada   gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

 .
 .

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

 

Ayrıca her   tam sayısı için,  'nın   sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

 

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişkiDüzenle

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

 

Şimdi,  ,  ,yazalım,böylece

 

Kutupsal koordinatlara dönüşümü  ,  :

 

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

 

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

  and  , sonuç kolayca:
 .

TürevleriDüzenle

türevleri sırasıyla:

 

burada   digama fonksiyonu'dur.

IntegralleriDüzenle

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

YaklaşıklıklarDüzenle

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

 

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

 

Tamamlanmamış beta fonksiyonuDüzenle

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

 

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

 

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

 

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

 

ÖzelliklerDüzenle

 
 
 

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle