Laplace dönüşümü

Matematikte, Laplace dönüşümü sınır değer problemi dahil diferansiyel denklemleri çözmekte ve olasılık teorisinde mühendislik alanında zamandan bağımsız doğrusal sistemleri modellemekte kullanılan bir dönüşümdür. Genel anlamda bir fonksiyonun tanım kümesini zamandan frekansa çevirir. Zaman tanım kümesinde çözmesi zor olan differensiyal denklemler frekans tanım kümesinde daha basit cebirsel denklemlere dönüştüğünden diferansiyel denklemleri çözmekte kullanılırlar. Söz konusu yöntem, kolay çözüm avantajına karşın ters Laplace dönüşümünün zorluğu ile dengelenir. Laplace dönüşümünün frekans karakterlerini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede kullanılır. İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir f(t) fonksiyonunun (tüm t ≥ 0 reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü F(s) matematiksel olarak şöyle gösterilir:

Özellikler ve teoremlerDüzenle

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi   ile çarpıma, integrali   ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomsal denklemler haline getirir. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile önceki tanım kümesine dönülür.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

 
 

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:[1]

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri
Zaman tanım Frekans tanım Yorum
Doğrusallık     İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi    
Genel Frekans Türevlemesi     Genel olarak
Türevleme     İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme       fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme     İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu    
Entegrasyon       Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme    
Frekans öteleme    
Zaman öteleme       Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon)    
Periyodik Fonksiyon       bir periyodik fonksiyon periyot   şöyle ki  
  • Başlangıç değer teoremi:
 
  • Son değer teoremi:
 , Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn.   or  ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınızDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Korn & Korn 1967, ss. 226–227

BibliyografyaDüzenle

  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd bas.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1