Ana menüyü aç

Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:

ve

şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,

,

ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere eşlemesine Fourier Dönüşümü, eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.

GirişDüzenle

ÖrnekDüzenle

Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur.Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir(eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. ( bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gaussian fonksiyondur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi varolan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir.İlk görüntü bu grafı içerir.  hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır.İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir.İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t) nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t) nin gerçel kısmıdır.Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz(0.5 durumu içinde). Diğer taraftan,eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir,  da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür.Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir ,ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur

Temel özelliklerDüzenle

Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: Pinsky 2002.

Doğrusallık
Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise   
Öteleme
Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer     ise   
Modülasyon
Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer   ise   
Ölçekleme
bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise        Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise  
Birleşim
Eğer     then   
Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise    , şöyle ki,   bir Hermisyen fonksiyondur.
Ve eğer f saf sanal, ise   
Integrasyon
  Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen
 

İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi ( ) tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir .

Önemli Fourier dönüşümlerinin tablolarıDüzenle

Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada   ile Fourier dönüşümü, sırasıyla  , ve   ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.

Fonksiyonel ilişkilerDüzenle

Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir Şablon:Harvard alıntıtxt veya Şablon:Harvard alıntıtxt.

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
   

 

 

 

 

 

Tanım
101         Doğrusallık
102         Zaman domeni içinde kayma
103         Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti
104         zaman domeninde ölçekleme. Eğer   is büyük, ise   0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve   yayılır ve düzleşir.
105         ikilik.Burada   Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.

  ve   veya   veya  'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları.

106        
107         Bu 106'nın çiftidir
108           gösterimi   ve  'in evrişimidir— bu kural evrişim teoremidir
109         Bu 108'in çiftidir
110   için saf gerçek       Hermisyen simetridir.   karmaşık eşleniklerine ayrılır.
111   için bir saf gerçek çift fonksiyon  ,   ve   saf gerçek çift fonksiyondur.
112   için bir saf gerçek tek fonksiyon  ,   ve   saf sanal tek fonksiyonlar.
113         Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi

Kare-integrallenebilir fonksiyonlarDüzenle

bu tablo içinde Fourier dönüşümleri Campbell & Foster 1948 içinde bulunabilir, Erdélyi 1954, veya Kammler 2000 in eki.

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
   

 

 

 

 

 

201         dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
202         kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir, ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
203         tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur
204         kural 203'ün ikilisi.
205         u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0.
206         Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır.
207         a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur.
208         Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir
209    

   

 

   

 

   

  Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir.

DağılımlarDüzenle

Fourier dönüşümleri bu tablo (Erdélyi 1954) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki.

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
   

 

 

 

 

 

301         δ(ξ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder.
302         301'in kural ikizi.
303         Bunu 103 ve 301'den izleyin
304         101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor: 

 

305         101 ve 303 kuralından aşağıda 

 kullanılıyor

306        
307        
308         Burada, n bir doğal sayılar sicimi   Dirac delta fonksiyonunun türevinin n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor,tüm polinomlar dönüştürülbilir.
309         Burada sgn(ξ) işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor
310  

 

      1/xn homojen dağılım ve   dağılımsal türev ile tanımlanır
311         Bu formül 0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise   bir yerel integrallenebilir fonksiyondur, ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon  katkılı dağılımın uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorfik fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor , ayrıca   için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.)
312         309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,.
313         u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301, ve 312 kurallarından bunu izleyin .
314         Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak bilinir. Bu ,dağılımlar ile birlikte     olarak aslında 302 ve 102 den elde edilebilir sonuçtur
315         J0(x) fonksiyonu sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur
316         Bu 315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur
317           Euler–Mascheroni sabitidir.
318         Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur.

İki-boyutlu fonksiyonlarDüzenle

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
400    

 

 

 

 

 

401        
402        
Açıklamalar

400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.

401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.

402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyon). Stein & Weiss 1971, Thm. IV.3.3

Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüllerDüzenle

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim olmayan,açısal frekans
500    

 

 

 

 

 

501    
 
 
 
 
 
502    
503    
504    
Açıklamalar

501 için: Fonksiyon χ[0, 1] aralığının gösterge işlevi [0, 1].Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. Jn/2 + δ fonksiyonu için n/2 + δ ile, birinci tür bir Bessel işlevidir.n = 2 alınması ve δ = 0 402 üretir.Stein & Weiss 1971, Thm. 4.15

502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm α ≠ −n, −n − 1, … için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.

503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir.Anılan sayfa ifadenin ardından,  and  

504 için: Burada  .BakınızStein & Weiss 1971, s. 6

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle