Gauss integrali

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir[1], tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

Bu integral çok geniş uygulama alanına sahiptir. Örneğin değişkenlerin azıcık değiştirilerek normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için kullanılır. Sonlu sınırları olan aynı integral, normal dağılımın hem hata fonksiyonu hem de birikimli dağılım fonksiyonu ile yakından ilişkilidir.

Hata fonksiyonu için her ne kadar temel fonksiyon olmazsa bile, Risch algoritması kanıtlamıştır ki, Kalkülüs araçları kullanılarak Gauss integrali analitik olarak çözülebilir. Burada, aşağıdaki integralin temel İlkel fonksiyonu yoktur:

fakat aşağıdaki belirli integrali hesaplanabilir:

Gauss integrali ile, fizikte çok sık karşılaşılır ve integralin sayısal genelleştirilmesi ile kuantum alan kuramında sık karşılaşılır.

HesaplamaDüzenle

Kutupsal koordinat sistemindeDüzenle

Gauss integralini hesaplamanın standart yolu Poisson'a geri gitmektir,[2] is

Bu iki hesaplama karşılaştırılırsa uygun integral elde edilmiş olur.

Basit ispatDüzenle

Kısaca yukarıdaki yöntem kullanılarak, bir taraftan şöyle hesaplanabilir;

 

Diğer taraftan da şöyle hesaplanabilir;

 

Buradaki r faktörü, kutupsal koordinat dönüşümlerinden elde edilir. (r dr , kutupsal koordinat sisteminde ifade edilen düzlemin standart ölçüsüdür [1]25 Aralık 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.) ve s = −r2 yerine konulursa ds = −2r dr olur.

Bunları bir araya getirirsek

  olur.

Böylece,

  elde edilir.

Kapsamlı ispatDüzenle

Katlı integrallerin uygunluğunu ve iki ifadenin eşitliğini doğrulamak için, aşağıdaki yaklaşım fonksiyonu ile başlayalım:

 

Eğer integral şöyle olursa:

 

mutlak yakınsaklığın Cauchy esas değeri limiti şöyle olur;

 

Bu limit aşağıdaki integral ile uyuşur;

 

Bunun gerçek durumunu şöyledir;

 

Böylece şöyle hesaplayabiliriz

 

burada limit alınırsa

 .

I(a)nın karesi elde edilir

 

Fubini teoremini kullanarak, yukarıdaki katlı integral, şu şekilde alan integraline çevrilebilir:

 

xy düzleminde {(−aa), (aa), (a, −a), (−a, −a)} köşelerine sahip bir kare elde edilir.

Üstel fonksiyon, tüm reel sayılar için 0'dan büyük olduğundan dolayı, karenin iç teğet çemberinin integrali  'den küçük olmalıdır ve benzer şekilde karenin dış teğet çemberinin integrali de  'den büyük olmalıdır. Bu iki çemberin integralleri kutupsal koordinat dönüşümünden kolayca hesaplanabilir:

 
 

(Kutupsal dönüşümler için kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara dönüşüme bakın.)

Integral alma,

 

Sıkıştırma teoreminden, Gauss integral elde edilebilir:

 

Kartezyen koordinat sistemindeDüzenle

Laplace dönüşümüne geri gitmenin farklı bir yöntemi,[2] aşağıdaki gibidir:

 

y → ±∞ iken s sınırları, x in işaretine bağlıdır ve bir çift fonksiyon olan ex2 kullanılarak hesaplama basitleştirilebilir. Böylece tüm reel sayılardaki integral için, sıfırdan sonsuza iki kez integral alınır. Bu da şöyle olur;

 

Böylece, x ≥ 0 için integral alınır ve y ile s değişkenleri aynı sınırlara sahiptir. Buradan:

 

elde edilir. Ardından:

 

Son olarak,   olur.

Gama fonksiyonu ile ilişkisiDüzenle

Bir çift fonksiyonun integrali şöyle olsun:

 

Burada   değişken değiştirme yapılırsa bu denklem Euler integraline dönüşür:

 

Buradaki Γ, gama fonksiyonudur. Bu, bir yarım tam sayı faktöriyelinin,  nin bir oransal çarpanı olduğunu gösteriyor. Bunun daha genel ifade şöyledir:

 

GenelleştirmelerDüzenle

Gauss fonksiyonunun integraliDüzenle

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:

 

Bunun başka bir biçimi de şöyledir:

 

n boyutlu ve fonksiyonel genelleştirmeDüzenle

A, bir simetrik pozitif tanımlı (bu yüzden tersinir) n×n ortak değişirli matrisi olsun. Böylece integral şöyle olur:

 

Burada integral Rnde anlaşılır. Bu, çokdeğişirli normal dağılım incelenerek uygulanır.

Ayrıca,

 

Burada σ, bir {1, ..., 2N} permütasyonu ve sağ taraftaki ek faktör, N nin {1, ..., 2N} tüm kombinasyonel çiftlerinin toplamıdır ve Ad−1'den elde edilmişlerdir.

Alternatif olarak,

 

Yüksek dereceli polinomlarDüzenle

Diğer çift polinomların üstelleri seriler kullanılarak kolayca çözülebilir. Örneğin bir dördüncü dereceden bir polinomun üstel integralinin çözümü şöyledir:

 

Burada n + p = 0 mod 2 gereklidir. Çünkü −∞'dan 0'a integral her bir terimde (−1)n+p/2 faktörü oluştururken, 0'dan +∞'a integral her bir terimde 1/2 faktörü oluşturur. Bu integraller, kuantum alan kuramının konusuna girer.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Пуассона интеграл 28 Ağustos 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.БСЭ
  2. ^ a b "Arşivlenmiş kopya" (PDF). 10 Ekim 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2013.