Sıkıştırma teoremi

Kalkülüste, sandviç teoremi, sandviç kuralı, polis teoremi olarak da bilinen sıkıştırma teoremi bir fonksiyonun limitiyle ilgili bir teoremdir . İtalya'da teorem, jandarma teoremi olarak da bilinir.

Sıkıştırma teoreminin çizimi.
Bir dizi, aynı limite sahip diğer iki yakınsayan dizi arasında yer aldığında, aradaki dizi de bu limite yakınsar.

Sıkıştırma teoremi kalkülüs ve matematiksel analizde kullanılır. Tipik olarak, limitleri bilinen veya kolayca hesaplanan diğer iki fonksiyonla karşılaştırarak bir fonksiyonun limitini doğrulamak için kullanılır. İlk olarak matematikçiler Archimedes ve Eudoxus tarafından π'yi hesaplama çabasıyla geometrik olarak kullanıldı ve Carl Friedrich Gauss tarafından modern terimlerle formüle edildi.

Birçok dilde (örn. Fransızca, Almanca, İtalyanca, Macarca ve Rusça'da), sıkıştırma teoremi aynı zamanda iki polis (ve sarhoş) teoremi veya bunun bir varyasyonu olarak da bilinir.[kaynak belirtilmeli] Hikâye şudur ki, iki polis aralarında sarhoş bir mahkuma eşlik ediyorsa ve her iki memur da bir hücreye giderse, o zaman (izlenen yol ve mahkumun polisler arasında yalpalıyor olabileceği gerçeğinden bağımsız olarak) mahkum da hücreye girmelidir.

AçıklamaDüzenle

Sıkıştırma teoremi resmi olarak aşağıdaki gibi belirtilmiştir.[1]

I, limit noktası olarak a noktasına sahip olan bir aralık olsun. g, f, ve h; a noktasında zorunlu olmamak kaydıyla I aralığı üzerinde tanımlanan fonksiyonlar olsun. I aralığındaki a noktası hariç her x değeri için şunu var sayalım:

 

 ve ayrıca varsayalım ki:

Öyleyse  

  •   ve   fonksiyonlarının sırasıyla   fonksiyonunun alt ve üst sınırları olduğu söylenir .
  • Burada,   noktasının   aralığının iç kısmında bulunması gerekli değildir. Aslında eğer   noktası   aralığının bir uç noktasıysa bu durumda yukarıdaki limitler sol veya sağdan yaklaşan limitlerdir.
  • Benzer bir ifade sonsuz aralıklar için geçerlidir: örneğin, eğer   ise limit   şeklinde alınabilir .

Bu teorem diziler için de geçerlidir.    'ye yakınsayan bir dizi ve   de bir dizi olsun. Eğer   ise  , olur, öyleyse   de  'ye yakınsar .

ÖrnekDüzenle

 
x, 0'a giderken x2 sin(1/x) sıkışmaktadır.

 

Bu limit, limit kanunuyla saptanamaz:

 

Çünkü

 

'in limiti yoktur.

Bununla birlikte sinüs fonksiyonunun tanımıyla

 

dir ve bunu da

 

takip eder.

  olduğundan sıkıştırma teoremine göre   de 0 olmalıdır.

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle