Ana menüyü aç

Değişken değiştirme, İntegral, çarpanlara ayırma, denklemler, üslü denklemler, trigonometri ve diferansiyel denklemler başta olmak üzere matematiğin her alanında işlemi basitleştirmek için kullanılan matematiksel bir yöntemdir.

İçindekiler

Basit örnekDüzenle

Sistem aşağıdaki denklemlerden oluşsun.

  (Denklem I)
  (Denklem II)

Burada,   ve   pozitif tamsayı ve   olsun.

Bu sistemin normal çözümü zor değildir. Fakat biraz yorucu olabilir. (Denklem II)'yi şöyle yazabiliriz;

  (Denklem III)

Burada   ve   değişken değişimlerini uygulayalım. Böylece sistemde

(Denklem I)'e göre   ve (Denklem II)'ye göre   olur. Bunun çözümü;

  veya, (I.çift)
 dır. (II.çift)

(I.çift)'i ele alırsak;   ve   olur. Bu da,  'i verir.

(II.çift)'i ele alırsak;   ve   olur. Bunun çözümü yoktur. Sonuçta çözüm;  'dir.

Biçimsel tanıtımDüzenle

 ,   diferansiyellenebilir çokkatlı ve   aralarında bir  -diffeomorfizması olsun. Burada:  ,   kere diferansiyellenebilen,  'dan  'ye bir örten fonksiyon olsun. Bunu tersi yine   kere diferansiyellenebilen  'den  'ya bir fonksiyondur. Burada  , herhangi bir doğal sayı (veya sıfır),   (düzgün) veya   (analitik fonksiyondur).

 , düzenli koordinat sistemi olarak adlandırılır. Burada düzenli,  'nin  -siz olduğunu ifade eder.

Diğer örneklerDüzenle

Koordinat dönüşümüDüzenle

Silindirik koordinat sistemi kullanıldığında bazı sistemlerin çözümü kolaylaşır. Örneğin aşağıdaki denklem;

 

bazı fiziksel problemlerdeki bir potansiyel enerji fonksiyonu olabilir. Bunun çözümü hemen görülemeyebilir. Fakat aşağıdaki biçime dönüştürülürse;

 , burada   olur.

Eğer  ,   periyodunda örneğin   döndürülürse,   örten fonksiyon olmaz. Bu yüzden  , örneğin   aralığında sınırlanabilir.  , orjinde örten fonksiyon olmasaydı  'ın nasıl hesaba katılmadığına dikkat edin (  herhangi bir değer alabilir ve nokta (0, 0, z) olurdu). Ardından yeni ifadede oluşan tüm asıl değişkenler   ile değiştirilir ve   kullanılır. Böylece

  elde edilir.

Şimdi çözüm   için bulunabilir. Çünkü   veya  'dir.  'nin tersi kullanılırsa,   iken   olur.   için fonksiyonun orjin haricinde yok olduğunu gördük.

Burada   aldığımıza dikkat edin. Her ne kadar asıl problemde bir çözüm olmazsa bile, orjin de bir çözümdü. Burada  'nin örten fonksiyonu çok önemlidir.

Diferansiyel almaDüzenle

Ana madde: Zincir kuralı

Zincir kuralı, karmaşık diferansiyel denklemleri basitleştirmek için kullanılır. Örneğin aşağıdaki denklemin türevini hesaplamak için;

 

x2 = u şeklinde değişken değişimi yapılabilir. Ardından zincir kuralı ile:

 

böylece denklem aşağıdaki biçime dönüşür;

 

Burada son adım u yerine x2 yazmaktır.

İntegral almaDüzenle

Zor integraller değişken değiştirerek hesaplanabilir. Burada yerine koyarak integralleme yapılır ve yukarıdaki zincir kuralı] kullanılır. Zor integralleri hesaplamak için Jakobi matris ve determinantı kullanılarak değişken değiştirilir. Böylece denklem koordinat sistemlerine dönüştürülür.

Diferansiyel denklemlerDüzenle

Diferansiyel ve integral alırken kullanılan değişken değiştirme yöntemi kalkülüste öğretilir.

Değişken değiştirmenin çok geniş kullanımı diferansiyel denklemlerde ortaya çıkar. Buradaki bağımsız değişken zincir kuralı kullanılarak değiştirilebilir veya bağımlı değişkenler bazı diferansiyellerin alınması sonucunda değiştirilir. Can alıcı değişiklikler, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin, nokta ve bağlantı dönüşümlerinde katıştırılmasıdır. Bu çok karmaşıktır, fakat bir o kadar da rahattır.