Kuadratik formül

Temel cebirde, kuadratik formül, bir ikinci dereceden denklemin köklerini (çözümlerini) bulan bir formüldür. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ikinci dereceden formülü kullanmak yerine çarpanlara ayırma (doğrudan çarpanlara ayırma, gruplama, AC yöntemi), tam kareye tamamlama, grafik çizme ve diğerleri gibi başka yollar da vardır.[1]

Roots of a quadratic function
ve köklerine sahip ikinci dereceden bir fonksiyon.

Genel forma sahip ikinci dereceden denklemi verildiğinde

bilinmeyen x; a, b ve c sabitlerken a ≠ 0 olmasıyla, kuadratik formül:

buradaki artı eksi işareti "±" ikinci dereceden denklemin iki çözümü olduğunu gösterir.[2] Formülden gelen çözümler () ayrı yazıldığında:

Bu iki çözümün her birine ikinci dereceden denklemin kökü (veya sıfırı) denir. Geometrik olarak, bu kökler y = ax2 + bx + c olarak verilen parabolün, x ekseni üzerinden geçerinden geçtiği noktalar ve değerlerdirler.[3]

Kuadratik formül, herhangi bir parabolün köklerini veren bir formül olmasının yanı sıra, parabolün simetri eksenini[4] ve ikinci dereceden denklemin içerdiği gerçek köklerin sayısını, köklerin toplamlarını ve çarpımlarını, belirlemek için de kullanılabilir.[5]

Eşdeğer formülasyonlarDüzenle

Kuadratik formül şu şekilde de yazılabilir:

 

ve bu da şu şekile sadeleştirilebilir:

 

Formülün bu versiyonu, karmaşık kökler söz konusu olduğunda kullanışlıdır. Bu durumda, karekök dışındaki ifade gerçek(reel) kısım olacaktır ve karekökün içindeki ifade ise sanal (imajiner) kısım olacaktır. Karekök içindeki ifade diskriminanttır.

 

Muller'in yöntemiDüzenle

Daha az bilinen, Muller yönteminde kullanılan ve Vieta formüllerinden bulunabilen, kuadratik formül, denklemi aracılığıyla aynı kökleri sağlar:

 

Alternatif parametrelendirmelere dayalı formülasyonlarDüzenle

İkinci dereceden denklemin standart parametrizasyonu şöyledir:

 

Bazı kaynaklar, özellikle daha eski olanlar, ikinci dereceden denklemin şu şekilde olabilecek alternatif parametrelendirmelerini kullanır

  iken,  [6]

veya

  iken,  .[7]

Bu alternatif parametrelendirmeler, çözüm için biraz farklı formlarla sonuçlanır, ancak bunlar standart olan parametreleştirmeye eşdeğerdir.

Formülün türetimiDüzenle

Literatürde ikinci dereceden formülü türetmek için birçok farklı yöntem mevcuttur. Standart türetim, tam kareye tamamlama yönteminin basit bir uygulamasıdır.[8][9][10][11] Alternatif yöntemler bazen tam kareye tamamlamaktan daha basittir ve matematiğin diğer alanları üzerinde ilginç bir kavrayış sağlayabilir.

"Tam Kareye tamamlama" tekniğini kullanarakDüzenle

Standart yöntemDüzenle

İkinci dereceden denklemi  'ya bölün, buna izin verildiği için   sıfır olmayan bir sayı olmalıdır:

 
iki taraftan da   çıkarın, böylece şu denklemi elde edersiniz:

  Bu ikinci dereceden denklem şimdi tam kareye tamamlama yönteminin uygulanabileceği bir formdadır. Hatta, denklemin her iki tarafına, sol tarafı tam bir kare olacak şekilde bir sabit ekleyerek, ikinci dereceden denklem şu hale getirilebilir:

 

ve şu şekile sadeleştirilebilir:

 

Buna göre, sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenledikten sonra elde edilen eşitlik şu hale gelir:

 

Böylece tam kare tamamlanır. Eşitliğin her iki tarafının karekökünü almak aşağıdaki denklemi verir:

 

Bu durumda,  'i tek başına bırakmak kuadratik formülü verir:

 

Bu türetmenin küçük farklılıklar içeren birçok alternatifi vardır, bunlar çoğunlukla   sabitinin manipülasyonunu ilgilendirir.

İkinci yöntemDüzenle

Son birkaç on yılda yayınlanan cebir metinlerinin çoğu, daha önce sıralanmış basamakları kullanarak tam kareye tamamlamayı öğretir:

  1. Polinomu monik yapmak için her iki tarafı da  'ya bölün.
  2. Eşitliği düzenleyin.
  3. Kareye tamamlamak için her iki tarafa   ekleyin.
  4. Sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenleyin.
  5. Her iki tarafın da karekökünü alın.
  6.  ’i yalnız bırakın.

Karenin tamamlanması, bazen daha kısa ve basit bir sıralama ile de gerçekleştirilebilir:[12]

  1. Her iki tarafı da  ’yla çarpın,
  2. Eşitliği düzenleyin.
  3. Kareye tamamlamak için her iki tarafa   ekleyin.
  4. Her iki tarafın karekökünü alın.
  5.  ’i yalnız bırakın.

Bu durumda, ikinci dereceden formül aşağıdaki gibi de türetilebilir:

 

İkinci dereceden formülün bu türetimi antiktir ve Hindistan'da en geç 1025 yılından beri bilinmektedir.[13] Standart yöntemin türetimiyle karşılaştırıldığında, bu alternatif türetim, son aşamaya kadar kesirleri ve karesi alınan kesirleri önler ve bu nedenle, sağ tarafta ortak bir payda elde etmek için üçüncü aşamadan sonra yeniden düzenleme gerektirmez.[12]

Üçüncü yöntemDüzenle

Standart yönteme benzer olarak, eşitliğin sol tarafını bir monik polinom yapmak için (mesela,  ’nin katsayısı   olur) ikinci dereceden denklemin iki tarafını da   ile bölün.

 

Denklemi daha kompakt ve kolayca değiştirilebilir bir biçimde yazın:

 

  ve   iken.

İlk iki terime   ekleyin ve eşitliği korumak için son terimden   çıkarın. Böylece, ilk iki terimle beraber olan   bir kare olacaktır.

 

Sol tarafı iki kare farkı haline gelecek şekilde yeniden düzenleyin:

 

çarpanlarına ayırın:

 

bu durumdan da anlaşılacaktır ki, ya

 

ya da

 

Elde edilen bu iki lineer denklem,   tek başına bırakılarak,   için şu şekilde çözülebilir:

  veya  

  ve  ’yi, sırasıyla   ve   olarak, yeniden ifade ederek ikinci dereceden formül elde edilebilir. Bu değerler, aynı sırada, köklerin toplamının negatifi ve diğerinin de köklerin çarpımına eşit olmasıyla kolaylı sağlayabilir.

Yerine koyma tekniğini kullanarakDüzenle

Diğer bir teknik, yerine koyma yöntemiyle çözümdür.[14] Bu teknikle   eşitliğini kullanarak, ikinci dereceden denklemdeki   değişkeninin yerine   ifadesi koyulur:

 

Sonuç genişletilip, terimler  ’nin kuvvetlerine göre sıralandığında:

 

  ve   üzerine henüz ikinci bir şart koyulmadığından, üstteki denklemin orta terimi yok edecek şekilde bir   değeri seçilmelidir. Bu değer,   veya  ’dır. Sabit terim (sağ tarafa taşınması için) denklemin her iki tarafından çıkarılıp iki taraf da   ile bölünür:

 

  değeri yerine koyulduğunda:

 

Böylece,

 

 ’yi,   bakımından,   eşitliği kullanılarak, ifade edildiğinde, standart kuadratik formül tekrar elde edilebilir:

 

Cebirsel eşitlikleri kullanarakDüzenle

Bu yöntem tarihteki birçok matematikçi tarafından kullanılmıştır:[15]

İkinci dereceden denklemin kökleri r1 ve r2 olsun, türetme şu eşitlik üzerinden başlar:

 

Her iki tarafın da karekökü alındığında şu elde edilir:

 

Standart formdaki ikinci dereceden, denklemin baş katsayısı, a ≠ 0 olduğundan, aynı köklere sahip ikinci dereceden bir polinom elde etmek için standart denklemi a ile bölebiliriz. Yani,

 

Buradan da görülebileceği gibi standart ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamının b/a ile verildiğini ve bu köklerin çarpımının c/a ile verildiğini görebiliriz. Dolayısıyla eşitlik şu şekilde tekrar yazılabilir:

 

Şimdi,

 

r2 = −r1b/a olduğundan, eğer:

 

ise, o zaman bunu elde ederiz:

 

ve eğer onun yerine

 

olarak alırsak, o zaman da bunu elde ederiz:

 

Elde ettiğimiz sonuçları standart ± kısaltmasıyla birleştirebiliriz. Böylece, ikinci dereceden denklemin çözümleri:

 

Lagrange çözücülerini kullanarakDüzenle

İkinci dereceden formülü elde etmenin başka bir yolu, Galois teorisinin erken bir parçası olan Lagrange çözücüleri[16] yöntemidir.[17] Bu yöntem, kübik polinomların ve kuartik polinomların köklerini vermek için de genelleştirilebilir ve herhangi bir derecedeki cebirsel denklemlerin çözümünü, köklerinin simetri grubu olan Galois grubu açısından anlaşılmasını sağlayan Galois teorisine götürür.

Bu yaklaşım, orijinal denklemi yeniden düzenlemekten çok köklere odaklanır. İkinci dereceden bir monik polinom verildiğinde;

 

çarpanlarına ayrıldığını varsayalım

 

parantezleri açarsak

 

bu da bize şu eşitlikleri sağlayacaktır: p = −(α + β) ve q = αβ .

Çarpmanın değişme özelliğinden dolayı,   ve   değerleri değişmezken   ve   'nın yerleri değiştirebilir ve:   ve  'nun   ve   içinde simetrik polinomlar olduğu söylenebilir. Aslında, bunlar temel simetrik polinomdurlar - herhangi bir simetrik polinom içinde   ve  ,   ve   cinsinden ifade edilir. Galois teorisinin polinomları çöze ve analiz etme yaklaşımı şudur: kat sayıları verilen bir polinomun, ki bunlar köklerin içinde simetrik fonksiyonlardır, bir şekilde "simetriyi kırıp" kökler bulunabilir mi? Bu nedenle, n dereceli bir polinomun çözülmesi, n harfin üzerindeki simetrik grubu olarak adlandırılan ve Sn ile gösterilen n tane terimin yeniden düzenleme ("permütasyon") yollarıyla ilgilidir. Kuadratik polinom için, iki terimi yeniden düzenlemenin tek yolu onların yerini değiştirmektir (onları "transpoze etmektir") ve böylece ikinci dereceden bir polinomu çözmek basittir.

  ve   köklerini bulmak için toplamlarını ve farklarını ele alalım:

 

Bunlar polinomun Lagrange çözücüleri olarak adlandırılır; bunlardan birinin köklerin sırasına bağlı olduğuna dikkat edin, bu kilit bir noktadır. Yukarıdaki denklemleri ters çevirerek çözücülerden kökler de çıkarılabilir:

 

Böylece, çözücüleri çözmek orijinal kökleri verir.

Şimdi   ve  'ya göre   simetrik bir fonksiyondur, bu nedenle   ve   cinsinden ifade edilebilir ve aslında önceki   notasyonunda belirtildiği gibi r1 = −p olacaktır. Ancak   ve  , yerleri değiştirildiğinde farklı bir sonuç olarak r2 = βα verdiğinden   simetrik değildir (formal olarak bu, köklerin simetrik grubunun bir grup hareketi olarak adlandırılır). r2 simetrik olmadığından,   ve   katsayılarıyla ifade edilemez, çünkü bunlar simetriktir ve dolayısıyla onları içeren herhangi bir polinom ifadesi de öyle olmalıdır. Köklerin sırasını değiştirmek sadece r2'yi -1 faktörüyle değiştirir ve böylece r22 = (αβ)2 şeklinde yazılan bir eşitlik köklerde simetriktir ve bu nedenle   ve   cinsinden ifade edilebilir. Denklemi kullanarak aşağıdakiler çıkarılabilir:

 

bu eşitliği yukarıda bulduklarımızla sadeleştirirsek

 

olacaktır ve böylece

 

Pozitif kökün alınacağını var sayıp, simetriyi bozarsak, şu elde edilir:

 

ve böylece

 

Böylece kökler

 

olacaktır, bu ikinci dereceden formüldür. p = b/a, q = c/a eşitlikleri kullanılarak monic monik olmayan kuadratiklerin genel olarak bilinen hali tekrar elde edilebilir. Çözücüler şu şekilde tanınabilir: r1/2 = p/2 = b/2a tepe noktasıdır ve r22 = p2 − 4q ayırt edici, yani diskriminanttır (monik bir polinomun).

Benzer ancak daha karmaşık bir yöntem kübik denklemler için de vardır, üç çözücü ve r2 ve r3 ile ilgili ikinci dereceden bir denklemle (buna "çözüm polinomu" denir) çözülebilir ve benzer şekilde bir kuartik denklem (4.dereceden denklem) için, çözüm polinomu kübiktir ve bu da çözülebilir.[16] Beşinci dereceden denklem için aynı yöntem, problemi basitleştirmeyen 24 dereceli bir polinom verir ki aslında da beşinci dereceden denklemlerin çözümleri genel olarak yalnızca kökler kullanılarak ifade edilemez.

Tarihsel gelişimDüzenle

İkinci dereceden denklemleri çözmek için üretilen en eski yöntemler geometriktir. Babil çivi yazısı tabletleri, ikinci dereceden denklemleri çözmeye indirgenebilen problemler içerir.[18] Orta Krallık'a (MÖ 2050 - MÖ 1650) dayanan Mısır Papirüsü, iki terimli ikinci dereceden bir denklemin çözümünü içerir.[19]

Yunan matematikçi Öklid (y. MÖ 300), etkili bir matematiksel inceleme olan Elementler Kitabının ikincisinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için geometrik yöntemler kullanmıştır. İkinci dereceden denklemler için kurallar MÖ 200 dolaylarında Çinde "Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm"de görünür.[20][21] Yunan matematikçi Diophantus (MS 250 civarı) Arithmetica adlı çalışmasında, ikinci dereceden denklemleri Öklid'in geometrik cebirinden daha tanınabilir cebirsel bir yöntemle çözdü.[22] Çözümü, her iki kök de pozitif olsa bile yalnızca bir kök verir.[23]

Hint matematikçi Brahmagupta (MS 597-668), MS 628'de yayınlanan Brāhmasphuṭasiddhānta eserinde[24] ikinci dereceden formülü açık bir şekilde tanımlamıştır, ancak semboller yerine kelimelerle yazılmıştır.[25] Brahmagupta'nın ikinci dereceden denklem ax2 + bx = c'ye çözümü şöyleydi: "Karenin [katsayısının] dört katı ile çarpılan mutlak [sabit terim olan] sayıya [orta terimin katsayısı] karesini ekleyin; aynı, orta terimin [katsayısı] eksi, karenin [katsayısı] iki katına bölünmesi değerdir [çözümdür]."[26] Bu şuna eşdeğerdir:

 

9. yüzyılda İranlı matematikçi Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, ikinci dereceden denklemleri cebirsel olarak çözdü.[27] Tüm vakaları kapsayan ikinci dereceden formül ilk olarak 1594'te Simon Stevin[28] tarafından bulundu. 1637'de René Descartes, bugün bildiğimiz formdaki ikinci dereceden formülün özel durumlarını içeren La Géométrie’yi yayınladı.[29]

Önemli kullanımlarDüzenle

Geometrik önemiDüzenle

 
  eşitliğinin   katsayısı ve diskriminantı olan  'nin pozitifken,
 • Kökleri ve   ekseniyle kesiştiği noktaların kırmızıyla
 • Tepe noktası ve simetri ekseninin maviyle
 • Odak ve doğrultman doğrularının pembeyle
gösterildiği grafiği

Koordinat geometrisi açısından, bir parabol, (x, y) koordinatları ikinci derece bir polinom ile tanımlanan bir eğridir, yani formun herhangi bir denklemi:

 

burada  , ikinci dereceden bir polinomunu temsil eder ve a0, a1, ve a2 ≠ 0 olmak üzere alt indis ilgili terimin derecesine karşılık gelen sabit katsayılardır. Çözüm olarak çözdüğü ikinci dereceden formülün parabolünün   ekseninden geçeceği yeri vermesidir. Ek olarak, kuadratik formüle iki terimli olarak bakıldığında,

 

böylelikle simetri ekseni, x = −b/2a doğrusu olarak görünür. Diğer terim, b2 − 4ac/2a, köklerin simetri ekseninden uzaklığını verir, burada artı işareti sağdaki mesafeyi ve eksi işareti soldaki mesafeyi temsil eder.

Bu mesafe terimi sıfıra düşürülürse simetri ekseni kökün x değeri olacaktır, yani ikinci dereceden denklemin tek bir olası çözümü olacaktır. Cebirsel olarak bu, b2 − 4ac = 0 veya basitçe b2 − 4ac = 0 (burada sol taraf diskriminant olarak adlandırılır). Bu, parabolün diskriminantının, parabolün kaç sıfıra sahip olacağını gösterdiği üç durumdan biridir. Diskriminant pozitifse, mesafe sıfır olmayacak ve iki çözüm olacaktır. Bununla birlikte, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu bir durum da vardır ve bu, mesafenin imajiner olacağını gösterir. – veya karmaşık birim i'nin bir katı olarak, burada i = −1 – ve parabolün sıfırları karmaşık sayı olacaklardır. Karmaşık kökler, karmaşık olarak eşlenik olacaktır ve burada karmaşık köklerin gerçek kısmı simetri ekseninin değeri olacaktır. Parabolün x ekseniyle kesiştiği yerde x gerçek değerleri olmayacaktır.

a, b ve/veya c sabitleri birimsiz değilse, o zaman  'in biriminin  'nın birimine eşit olması gerekir, bu gerekliliğin sebebi ax2 ve bx birimleri üzerinde uyumlu olmasıdır. Ayrıca, aynı mantıkla, c'nin birimi şu birime eşit olmalıdır:   için çözmeden doğrulanabilir. Bu, fiziksel büyüklüklerin ikinci dereceden ifadesini çözmeden önce, doğru bir şekilde kurulduğunu doğrulamak için güçlü bir araç olabilir.

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  1. ^ "Quadratic Factorisation: The Complete Guide". Math Vault (İngilizce). 13 Mart 2016. 10 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
  2. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, s. 219, ISBN 978-0-470-55964-2, 8 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 28 Mart 2021 
  3. ^ "Understanding the quadratic formula". Khan Academy (İngilizce). 13 Eylül 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
  4. ^ "Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ..." www.mathwarehouse.com. 22 Mart 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
  5. ^ "Discriminant review". Khan Academy (İngilizce). 10 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Kasım 2019. 
  6. ^ On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), 20 Kasım 2004, 18 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 25 Aralık 2012 
  7. ^ "Quadratic Formula", Proof Wiki, 10 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 8 Ekim 2016 
  8. ^ Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, 2004, ISBN 0-07-141083-X, 31 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 28 Mart 2021 , Chapter 13 §4.4, p. 291 5 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  9. ^ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
  10. ^ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
  11. ^ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
  12. ^ a b Hoehn (1975). "A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula". The Mathematics Teacher. 68 (5): 442–443. 
  13. ^ History of Mathematics, Vol. II. Dover Publications. 1958. s. 446. ISBN 0486204308. 
  14. ^ Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1
  15. ^ Debnath (2009). "The legacy of Leonhard Euler – a tricentennial tribute". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 40 (3): 353-388. doi:10.1080/00207390802642237. 
  16. ^ a b Clark, A. (1984). Elements of abstract algebra. Courier Corporation. p. 146.
  17. ^ Elliptic functions and elliptic integrals, AMS Bookstore, 1997, ISBN 978-0-8218-0587-9, 12 Nisan 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 28 Mart 2021 , §6.2, p. 134 4 Haziran 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  18. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 34. ISBN 978-0-88385-783-0. 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
  19. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. s. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. 30 Haziran 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
  20. ^ "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF). Mathematics Department, California State University. 6 Ekim 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2013. 
  21. ^ History of Mathematics. Courier Dover Publications. 1958. s. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. 
  22. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 39. ISBN 978-0-88385-783-0. 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
  23. ^ History of Mathematics. Courier Dover Publications. 1958. s. 134. ISBN 0-486-20429-4. 
  24. ^ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
  25. ^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
  26. ^ Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. 2004. s. 87. ISBN 0-387-95336-1. 
  27. ^ Beyond the Quadratic Formula. MAA. 2013. s. 42. ISBN 978-0-88385-783-0. 12 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Mart 2021. 
  28. ^ The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, 1958, s. 470, 24 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 28 Mart 2021 
  29. ^ Rene Descartes. The Geometry (İngilizce).