Vieta formülleri

Matematiksel formüller

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleriDüzenle

Eğer

 

derecesi   olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani   sayıları kompleks, ve   sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre     (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler:   Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

 

Anlamı,  'in   tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı  'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

 

şeklinde her   yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiDüzenle

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak   şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre,   denkleminin kökleri   ve   için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

 

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatıDüzenle

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:  

(  bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarpı,  'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  • Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
  • Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
  • Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.