Euler formülü

Adını matematikçi Leonhard Euler'den alan Euler formülü karmaşık analizde kullanılan bir matematik formülüdür ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir.

Herhangi bir gerçek sayısı için Euler formülü,

şeklindeki eşitliktir. Burada i karmaşık sayı olan dir, e Euler sayısıdır ve cos ile sin trigonometrik fonksiyonlar olan kosinüs ve sinüstür.[1]

Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.[2]

eşitliği sağlandığında Euler formülü: e + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.

Euler's formula.svg
Euler's formula

Kullanım alanlarıDüzenle

Formülün yorumlanmasıDüzenle

Bu formül ei  fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon   farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada   orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.

Orijinal kanıt   üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve   ile   fonksiyonlarından gelir, burada   bir karmaşık sayı ve   bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün  'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.

Karmaşık sayılar düzlemindeki bir nokta kartezyen koordinatlarda yazılmış bir karmaşık sayı ile gösterilebilir. Euler formülü kartezyen koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasında geçiş yapılmasını sağlar.

Bir örnekle ispatıDüzenle

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

  1.  
  2.  
  3.  

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

  •  
  •  

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantlarıDüzenle

Euler formülü'nde x yerine

 ,
 ,
 ,
 

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterimDüzenle

 

ifadesinde x yerine   konursa

 

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

 ,
  elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

 

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

 

İki katlı üstelDüzenle

 

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

 
 
 
 
 

x yerine

  konursa;
 
 
 
 

İmajiner trigonometrikDüzenle

x-->ln(x) alınırsa

 
 
 
 

Karma bağıntılarDüzenle

Üslerin toplamına göreDüzenle

 
 

ve

 
 

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

 
 

sonuç olarak

 
 

elde edilir.

 
 

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

 
 

Üslerin çarpımına göreDüzenle

Buradaki ifadeler

 
 

veya

 
 

eşitliğidir.

 
 
 
 

x yerine -x konursa;

 
 

Bell sayıları ile ilgisiDüzenle

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

 

Ayrıca bakınızDüzenle

  1. ^ Moskowitz, Martin A. (2002). A course in complex analysis in one variable. River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-4780-X. OCLC 49966126. 
  2. ^ Feynman, Richard P. (©1963-1965). The Feynman lectures on physics. Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02010-6. OCLC 531535.  Tarih değerini gözden geçirin: |tarih= (yardım)