Adını matematikçi Leonhard Euler 'den alan Euler formülü karmaşık analizde kullanılan bir matematik formülüdür ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir.
Herhangi bir gerçek
x
{\displaystyle {\text{x}}}
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}
şeklindeki eşitliktir. Burada i karmaşık sayı olan
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
e kosinüs ve sinüstür .[ 1]
Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.[ 2]
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
eiπ + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.
Euler formülü
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
ifadesinde x yerine
ln
(
x
)
n
{\displaystyle \ln(x)\,n\!}
x
i
n
=
cos
(
ln
(
x
)
n
)
+
i
sin
(
ln
(
x
)
n
)
{\displaystyle x^{i\,n}=\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)\!}
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
cos
(
ln
(
x
)
n
)
=
x
i
n
+
x
−
i
n
2
{\displaystyle \cos(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}+x^{-i\,n}}{2}}\!}
sin
(
ln
(
x
)
n
)
=
x
i
n
−
x
−
i
n
2
i
{\displaystyle \sin(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}-x^{-i\,n}}{2\,i}}\!}
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)
ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
∑
n
=
0
k
x
i
n
=
∑
n
=
0
k
cos
(
ln
(
x
)
n
)
+
i
sin
(
ln
(
x
)
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\ x^{i\,n}=\sum _{n=0}^{k}\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)}
toplamıda bulunabilir.
x yerine x^{i} konursa
∑
n
=
0
k
x
i
n
=
1
−
x
i
(
k
+
1
)
1
−
x
i
{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}x^{i\,n}={\frac {1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}}}\!}
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
e
e
i
x
=
e
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!}
e
e
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
+
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
e
e
−
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
−
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
e
cos
x
cos
(
sin
(
x
)
)
=
(
e
e
i
x
+
e
e
−
i
x
)
2
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2}}\!}
e
cos
x
sin
(
sin
(
x
)
)
=
(
e
e
i
x
−
e
e
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i}}\!}
x yerine
π
2
−
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\!}
e
sin
x
cos
(
cos
(
x
)
)
=
(
e
−
i
e
i
x
+
e
i
e
−
i
x
)
2
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\cos(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2}}\!}
e
sin
x
sin
(
cos
(
x
)
)
=
(
e
−
i
e
i
x
−
e
i
e
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\sin(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i}}\!}
t
a
n
(
s
i
n
(
x
)
)
=
i
(
e
e
i
x
−
e
e
−
i
x
)
(
e
e
i
x
+
e
e
−
i
x
)
{\displaystyle tan(sin(x))=i{\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}}\!}
t
a
n
(
c
o
s
(
x
)
)
=
i
(
e
−
i
e
i
x
−
e
i
e
−
i
x
)
(
e
−
i
e
i
x
+
e
i
e
−
i
x
)
{\displaystyle tan(cos(x))=i{\frac {(e^{-ie^{ix}}-e^{ie^{-ix}})}{(e^{-ie^{ix}}+e^{ie^{-ix}})}}\!}
x-->ln(x) alınırsa
e
cos
(
ln
(
x
)
)
cos
(
sin
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
x
i
+
e
x
−
i
2
=
cos
(
i
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}+e^{x^{-i}}}{2}}=\cos(i\,x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
sin
(
sin
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
x
i
−
e
x
−
i
2
i
=
sin
(
i
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}-e^{x^{-i}}}{2i}}=\sin(i\,x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
cos
(
cos
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
i
+
e
i
x
−
i
2
=
cos
(
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}+e^{i\,x^{-i}}}{2}}=\cos(x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
sin
(
cos
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
i
−
e
i
x
−
i
2
i
=
sin
(
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}-e^{i\,x^{-i}}}{2i}}=\sin(x^{i})\!}
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!}
e
−
i
x
=
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!}
ve
e
e
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
+
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
e
e
−
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
−
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
sonuç olarak
e
e
i
x
+
i
x
+
e
e
−
i
x
−
i
x
2
=
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2}}=e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
e
i
x
+
i
x
−
e
e
−
i
x
−
i
x
2
i
=
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i}}=e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
elde edilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
y
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
y
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}
Buradaki ifadeler
e
i
x
(
e
i
x
)
=
e
i
x
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
e
−
i
x
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
veya
e
i
x
(
e
i
x
)
=
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
eşitliğidir.
e
i
x
(
e
i
x
)
=
e
i
x
cos
(
x
)
−
x
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
e
−
i
x
cos
(
x
)
−
x
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
e
−
x
sin
(
x
)
cos
(
x
cos
(
x
)
)
=
e
i
x
(
e
i
x
)
+
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
2
=
cos
(
x
e
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2}}=\cos(xe^{ix})\!}
e
−
x
sin
(
x
)
sin
(
x
cos
(
x
)
)
=
e
i
x
(
e
i
x
)
−
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
2
i
=
sin
(
x
e
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{ix})\!}
x yerine -x konursa;
e
−
x
sin
(
x
)
(
−
sin
(
x
cos
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
−
e
i
x
(
e
i
x
)
2
i
=
sin
(
x
e
−
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))}={\frac {e^{-ix(e^{-ix})}-e^{ix(e^{ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{-ix})\!}
cos
(
x
e
i
x
)
+
sin
(
x
e
−
i
x
)
=
e
−
x
sin
(
x
)
[
cos
(
x
cos
(
x
)
)
−
sin
(
x
cos
(
x
)
)
]
{\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}
Eric Temple Bell 'e atfedilmiştir.
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
=
e
e
x
−
1
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}
![{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7c1c4216cfeefc4fc0bf69f0228fecea956c34)
![{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5911e05be9fb3a813d3aae572f9284595e30dd5f)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f1fbff909dcc340d267924002f3b711141d4ee)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07b16b07a5f72e2ca911ff0002de35781a6f14a)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a169575966b677f231f88653bbf8575bb25b4c9)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d0330142786f45528e76dd055637c4f0ff91f5)
![{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59013f812794ee69025baeabd48a9c222200e876)
![{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d8a75689bb3478dac6f7c9557a8109d20ccbe2)
![{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a12ab1bc944a4cdf6287ac825ca54a440a9b08e)
![{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6287c7c71b069748c03087201be21a7b3c5fb952)
![{\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990484eb15c8d9ee7a2ac550f97673c33f031cd0)
