Euler formülü

Euler denklemi,



şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı dir ve sin, cos ve için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.

Bir örnekle ispatıDüzenle

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

  1.  
  2.  
  3.  

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

  •  
  •  

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantlarıDüzenle

Euler formülü'nde x yerine

 ,
 ,
 ,
 

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterimDüzenle

 

ifadesinde x yerine   konursa

 

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

 ,
  elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

 

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

 

İki katlı üstelDüzenle

 

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

 
 
 
 
 

x yerine

  konursa;
 
 
 
 

İmajiner trigonometrikDüzenle

x-->ln(x) alınırsa

 
 
 
 

Karma bağıntılarDüzenle

Üslerin toplamına göreDüzenle

 
 

ve

 
 

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

 
 

sonuç olarak

 
 

elde edilir.

 
 

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

 
 

Üslerin çarpımına göreDüzenle

Buradaki ifadeler

 
 

veya

 
 

eşitliğidir.

 
 
 
 

x yerine -x konursa;

 
 

Bell sayıları ile ilgisiDüzenle

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

 

Ayrıca bakınızDüzenle