Bessel fonksiyonu

Bessel fonksiyonları ilk önce Daniel Bernoulli tarafından tanımlanmış ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilmiş

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

diferansiyel denkleminin kanonik çözümleridir.

Uygulamaları

Bessel fonksiyonları Helmholtz denklemi’nin silindirik koordinatlardaki ayrıştırılabilir çözümleridir. Bunun sonucu olarak özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkilidirler, örnek olarak

• Silindirik dalga kılavuzu içerisinde dalga yayılımı
• Silindirik cisimlerden dalga saçılması
• Frekans modülasyonu

Tanımı

Birinci türden Bessel fonksiyonları: $J_{\alpha }$

I₀

İkinci türden Bessel fonksiyonları: $Y_{\alpha }$

Neumann fonksiyonu olarak da adlandırılır. $\alpha \in \mathbb {N}$ olması durumunda $J_{\alpha }$ ve $J_{-\alpha }$ doğrusal bağımlı olacağından, doğrusal bağımlı olmayan ikinci türden bir çözüme ihtiyaç duyulmuştur.

Hankel fonksiyonlari: $H_{\alpha }$

Özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkili olarak tanımlanırlar.

$H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)$