Tetrasyon

tabanları için sonsuz üslü kulesi

Matematikte, tetrasyon (hiper-4 olarak da bilinir), üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin tekrarlı üssüdür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan tetration kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir. Burada aşırı işlecin ilk dört örneğin gösteriliyor. Tekrasyon dördüncüsüdür:

  1. toplama
    Normal bilinen toplama işlemi.
  2. çarpma
    genellikle temel işlemlerden birini ifade eder. Fakat doğal sayılar gibi özel durumlar için kendine n kere eklenen a olabilir.
  3. üs alma
    a nın kendisi ile n kere çarpılması.
  4. tetrasyon
    a 'nın kendisiyle n kere üssünün alınması.

buradaki her bir işlem, bir öncekinin tekrarı şeklinde tanımlanır. Tetrasyonunu bu işlemlerden ayıran özellik, ilk üçü, (toplama, çarpma ve üs alma) n nin karmaşık değerler ile genelleşmesiyken, tetrasyonun henüz keşfedilen düzenli bir genelleştirilmesi yoktur ve tetrasyon, bir temel fonksiyon olarak nitelendirilmez.

Toplama (a + n), en temel işlemdir. Çarpma (an) da temel fonksiyondur. Tetrasyon (), n nin a tane kuvvetini içeren bir dizi olarak düşünülebilir. a değişkeni ilerleyen bölümlerde temel değişken olarak adlandırılırken n değişkeni de yükseklik değişkeni olarak adlandırılacak (integral ilk yaklaşımdır, fakat kesirli olarak genelleştirilebilir, gerçel ve karmaşık yükseklik gibi).

TanımDüzenle

Her pozitif reel   ve negatif olmayan tam sayı   için   şöyle tanımlanır:

  •   (  ise) ve
  •   (eğer   ise)

Tekrarlı kuvvetlerDüzenle

Tanımdan da görüldüğü üzere, tetrasyon "üslü kuvvet" olarak hesaplandığında üs, öncelikle en derin seviyede alınır (gösterimdeki en yüksek derece) Diğer ifadeyle:

 

Üssün birleşme olmadığına dikkat edin. Böylece, diğer sıradaki hesaplama, farklı bir cevaba gider:

 

Burada, üslü kuvvetler, yukarıdan aşağıya doğru (veya sağdan sola doğru) hesaplanmalıdır.

TerimbilimDüzenle

Tetrasyon için birçok terim ve her birinin kullanımı için mantıksal düşünceler vardır. Fakat bazıları, birçok nedenden dolayı yaygınlık kazanamadı. Burada birkaçından bahsedilecektir.

  • Tetration (tetrasyon) terimi, 1947'de Goodstein tarafından geliştirildi.
  • Superexponentiation (süper üs) terimi Bromer tarafından geliştirildi.
  • Hyperpower (aşırı kuvvet), hyper (aşırı) ve power (kuvvet) kelimelerinin birleşimidir ve tetrasyonun uygun şekilde açıklar.
  • Power tower (üslü kule), ara sıra kullanılır. Örneğin,   " n sırasının üslü kulesi"

Tetrasyon birbirine yakın ilişkiye sahip fonksiyon ve ifadelerle genellikle karıştırılıyor. Bundan dolayıdır ki tetrasyon ile ilgili birçok terim kullanılıyor. Burada birkaçını vereceğiz:

Form Terimbilimi
  Tetrasyon
  Tekrarlı üsler
  İçiçe üsler (kuleler)
  Sonsuz üsler (kuleler)

İlk iki ifadede a, tabandır. Kez (kere) sayısı olan diğer a, yükseklikdir. Üçüncü ifadede n, yüksekliktir, fakat her birinin tabanı farklıdır.

GösterimDüzenle

Tetrasyonun yazılabileceği gösterimler şunlardır:

Ad Form Açıklama
Standart gösterim   Maurer [1901] ve Goodstein [1947] tarafından kullanıldı; Rudy Rucker kitabı olan Sonsuzluk ve zihin, bu gösterimi popüler yaptı.
Knuth yukarı ok gösterimi   Daha fazla oklar koyarak genişlemeyi veya daha güçlü olmayı sağlar.
Conway dizisi ok gösterimi   2 sayısının artırarak genişlemeyi sağlar (yukarıdakinin genişlemesiyle eşdeğerdir). Ayrıca, dizi genişletilerek daha da güçlenir.
Ackermann işlevi   Ackermann işlevinin   için yazılan özel durumudur.
Tekrarlı üstel gösterimi   1'den farklı başlangıç değerlerine sahip olan tekrarlı üstellerin basit genişlemesini sağlar.
Hooshmand gösterimi  
Aşırı işleç gösterimi   4 sayısını arttırarak genişleme sağlar. Bu aşırı işleçlerin ailesini oluşturur
ASCII gösterimi a^^n Yukarı ok, düzeltme işareti (^) ile aynı kullanıldığında, tetrasyon işleci de (^^) olarak yazılır.

Yukarıdaki gösterimlerden biri, tekrarlı üstel gösterimi kullanır. Bu genellikle şöyle tanımlanır:

  n tane "a".

Tekrarlı üsler için çok fazla gösterim yoktur. Fakat birkaçını verelim:

Ad Form Açıklama
Standart gösterim   Euler dizi gösterimi  , ve tekrar gösterimi  .
Knuth yukarı ok gösterimi   Okların sayısını arttırarak süper kuvvetler ve süper üslü fonksiyonları sağlar. Bu gösterim büyük sayılarda kullanılır.
Ioannis Galidakis gösterimi   Büyük ifadelerin temelini oluşturun.
ASCII (yardımcı) a^^n@x Tekrarlı üstelin görünüm temeli yardımcı tetrasyondur.
ASCII (standart) exp_a^n(x) Standart gösterimin temelidir.

ÖrneklerDüzenle

Aşağıdaki tablodaki çoğu değerler, bilimsel gösterimde yazmak çok zordur. Bundan dolayı tekrarlı üstel gösterim onları 10 tabanında ifade etti. Değerlerdeki ondalık nokta yaklaşıktır.

       
1 1 1 1
2 4 16 65.536
3 27 7.625.597.484.987  
4 256    
5 3.125    
6 46.656    
7 823.543    
8 16.777.216    
9 387.420.489    
10 10.000.000.000    

Çok ilkel fonksiyonlardaki yaklaşımlarDüzenle

Polinom yaklaşımlarıDüzenle

Lineer yaklaşımDüzenle

Lineer yaklaşımı (süreklilik isteğinin çözümüe, differensiyellenebilirlik yaklaşımı) şöyle elde edilir:

 

Bundan dolayı:

Yaklaşım Tanım kümesi
    için
    için
    için

ve böylece devam eder.

Örnekler:  

Ana teorem Hooshmand'e göre:  'dir. Eğer  , istenmeyen durumlara doğru giderse:

  •  
  •  ,  'de türevlenebilir,
  •   fonksiyonu,  'da azalmayan veya artmayan bir fonksiyondur,
  •  

Daha sonra  , şu denklemle benzersiz tanımlanır:

 

Buradaki  , x in kısmi parçasını ifade eder ve   fonksiyonu,   fonksiyonunun  -tekrarlı fonksiyonudur.

İkinci ve dördüncü şartlar ispattır.

  doğal tetrasyon fonksiyonundaki lineer yaklaşımı sürekli olarak türevlenebilir. Fakat ikinci türevi, argümanının tam sayısında bulunmaz. Hooshmand, onun için de söyle bir eşsiz teorem türetti:

Eğer   ise, sürekli fonksiyon şöyledir:

  •   için,
  •  ,  'de yakınsar,
  •  

Sonra   olur.

Buradaki ispat bir öncekine çok benzer. Özyineleme eşitliği,   olduğunu sağlar ve yakınsaklık şartı (-1, 0)'de   fonksiyonunun lineer olduğunu ifade eder.

Bundan dolayı doğal tetrasyondaki lineer yaklaşımı, sadece   eşitliğinin çözümüdür ve  ,  'de yakınsaktır. Diğer tüm uygun türevlenebilir çözümlerin (-1, 0) aralığında bir büküm noktası olması gerekir.

Yüksek sıralı yaklaşımlarDüzenle

İkinci dereceden yaklaşım şöyledir:

 

Bu ifade tüm   için türevlenebilir. Faka iki kez türevlenemez. Eğer   ise bu, lineer yaklaşım gibidir.

GenişlemelerDüzenle

Tetrasyon,   ve diğer tanım kümelerini ifade etmek için genişletilebilir.

Tabanlarda tanım kümesi genişlemesiDüzenle

Sıfır tabanında genişlemeDüzenle

  üs ifadesi sürekli olarak tanımlanmaz.   tetrasyonu da, daha önceki formüle göre iyi tanımlanmaz. Yine de   şöyle tanımlanabilir:

 

Buradan   ifadesini sürekli tanımlayabiliriz. Bu   tanımının eşdeğeridir.

Bu genişleme altında,  . Böylece asıl tanım koruyarak   kuralı sağlanır.

Karmaşık tabanlarda genişlemeDüzenle

 
Periyoda göre tetrasyon
 
Sızıntıya göre tetrasyon

Karmaşık sayılar kuvvetlerle arttarken, tetrasyon,   formunun tabanlarında uygulanabilir. Buradaki  , -1'in kareköküdür. Örneğin,   ( ) tetrasyonu, doğal logaritma prensibi kullanılarak ifade edilebilir. Euler formülünü kullanarak şöyle bir ilişki elde edebiliriz:

 

Bu,   için tekrarlı bir tanım ortaya çıkartır. Her   için:

 
 

Aşağıdaki yaklaşım değerleri türetilebilir:

  Yaklaşım Değeri
  i
   
   
   
   
   
   
   
   

Önceki bölümle ters ilişkiyi çözme, n nin negatif değerli beklenen   ve  'ı sağlar. Bunun için sanal eksene sonsuz sonuç verilir.

(Tekrarlı) "yükseklikler" için tanım kümesi genişlemeleriDüzenle

Sonsuz yükseklik genişlemesiDüzenle

Tetrasyon sonsuz yüksekliklere genişletilebilir ( 'deki n). Örneğin,   ifadesi 2'ye yakınsar, bundan dolayı "2'ye eşittir" denir. 2'ye doğru gidiş, küçük sonlu kuleyi hesaplayarak görülebilir:

 

Genellikle   sonsuz kuvvet kulesi,  'in limiti (sınırı) olarak tanımlanır. Burada n ee ≤ x ≤ e1/e için sonsuzluğa gider.

Negatif yüksekliklere (sınırlı) genişlemeDüzenle

Asıl kuralı korumak için:

 

 'nın negatif değerleri için, özyineleme ilişkisini kullanmalıyız:

 

Buradan:

 

Bununla beraber daha küçük negatif değerler, bu yolla iyi tanım verme. Çünkü,

 

iyi tanımlı değildir.

 'in her tanımı   için kuralla uyumlu olduğuna dikkat edin. Çünkü

her   için,  'dir.

Gerçek yüksekliklere genişlemeDüzenle

Burada, genişleme tetrasyonunun genel problemlerinin çözümü için  'nin reel veya karmaşık değerlerinde, yaygın olarak kullanılan kabul edilmiş bir çözüm yoktur. Çeşitli yaklaşımlar aşağıdaki gösteriliyor.

Genelde problem, a > 0 ve,   değerleri için   gibi bir süper üstel fonksiyon bulunuyor ki bu da yeterince tatminkârdır.

  •  
  •  
  •   tüm reel x > -1 için.
  • Dördüncü koşul genellikle şunlardan biridir:
  • Bir süreklilik koşulu (genellikle sadece  , her iki değişken için   şartılya süreklidir).
  • Bir türevlenebilirlik koşulu (x 'de bir kez, iki kez, k kez veya sonsuz kez türevlenebilir).
  • Bir uygunluk şartı (x 'de iki kez türevlenebilirliği ifade eder) şöyledir:
  tüm   için

Dördüncü koşul kişiden kişiye ve yaklaşımlara göre değişirr. Tetrasyonunu gerçel yüksekliklere genişletmek için iki ana yaklaşım vardır. Birincisi uygunluk koşulu, diğeri de türevlenebilirlik koşuludur. Bu iki yaklaşım, birbirleriyle tutarsız sonuçlar üretmesi, onların çok farklı olduğunu gösterdi.

Neyse ki, bir uzunluğun içindekilerden biri, tüm pozitif reel sayılar için genişletilebilir. Bir içsel uzunluk için   tanımlıysa, tam fonksiyon tüm   için geçerlidir.

Karmaşık yüksekliklere genişlemeDüzenle

 
  tetrasyonunun karmaşık düzlemde analitik genişlemesinin çizimi.   ve   dereceleri kalın eğimlerle gösteriliyor.

Şöyle bir konjektür[1] vardır: F(z+1)=exp(F(z)) eşitliğinin çözümü için eşsiz bir F fonksiyonu vardır ve ek F(0)=1 ve F(z) yaklaşımlarını sağlar. Bu fonksiyon sağdaki şekilde görülüyor.

Ters fonksiyonlarDüzenle

Tetrasyonun Ters fonksiyonları genellikle süper kök ve süper logaritma olarak adlandırılır.  'in süper kökün karesi olan  , Lambert W fonksiyonu ile şöyle ifade edilebilir:

 

Her n > tam sayıları için nx şeklinde fonksiyon vardır ve bu fonksiyon x ≥ için artarak 1=n1 = eşitliği elde edilir. Böylece x in n. süper kökü x ≥ 1 için elde edilir.

Yine de, eğer yukarıdaki lineer yaklaşım kullanılır ve -1≤y≤0 şart sağlanırsa, 1= yx = y + 1 olur. Böylece 1=ysroot(y + 1) elde edilemez.

sloga x süper algoritması, tüm gerçel x ve a > 1 sayıları için geçerlidir.

  fonksiyonu:

 
 
 
 

İnfra logaritma fonksiyonu, ultra üstel fonksiyonun iki katıdır ve   şeklinde ifade edilir. Eğer   ise   fonksiyonunun tersi olur.

Süper kökDüzenle

Süper kök, tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper kök ve süper logaritma. Süper kök, tetrasyonun tabanını ifade eden ters fonksiyonudur: eğer   ise y de x in n. süper kökü olur. Örneğin;

 

böylece 2, 65.536'nın 4. köküdür ve

  olur.

Böylece 3, 7.625.597.484.987'nin 3. süper kökü (veya süper küpü)dür.

Süper kökün birkaç pratik uygulaması vardır. Bunlar sadece saf matematikte çalışılır.

Kare kökDüzenle

2. sıra süper kök veya "süper kare kök" is noteworthy for its simple expression in terms of Lambert W fonksiyonunda terimlerinin basit ifadesi için önemlidir. İfadesi;

  buradaki  ,  'in süper kare köküdür.

Fonksiyon her ne kadar süper karenin karşıtı olarak tanımlanmış olsa bile, sonsuz üstelin de karşıtıdır. Sonsuz n.kökte şöyledir;

 

Kare kök örnekleriDüzenle

Aşağıdaki tablo ilk 27 tam sayının süper kare köklerini gösteriyor.

           
1 1 10 2,506184... 19 2,830223...
2 1,559610... 11 2,555604... 20 2,855308...
3 1,825455... 12 2,600295... 21 2,879069...
4 2 13 2,641061... 22 2,901637...
5 2,129372... 14 2,678523... 23 2,923122...
6 2,231828... 15 2,713163... 24 2,943621...
7 2,316454... 16 2,745368... 25 2,963219...
8 2,388423... 17 2,775449... 26 2,981990...
9 2,450953... 18 2,803663... 27 3

Eğer bir sayının süper kare kökü tam sayı değilse, o irrasyoneldir. Fakat bununla ilgili herhangi bir ispat bilinmiyor.

Diğer süper köklerDüzenle

Diğer süper kökler, normal kökle kullanılan aynı tabanda ifade edilebilir: süper küp kökler,   olduğunda y üreten fonksiyon,   olarak ifade edilebilir. 4. süper kök,   olarak ifade edilebilir ve bundan dolayı, n. süper kök,  'dir denilebilir.

Süper logaritmaDüzenle

Tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper logaritma ve süper kök. Süper logaritmayı açıklayan birkaç yol vardır:

Süper logaritma tanımlarıDüzenle

  olarak yazılan süper logaritma, tam olarak şöyle tanımlanır;

  ve
 

Bu tanımın sadece tam sayılar verebileceğine ve sadece tam sayı üretebilecek sayıları kabul edebileceğine dikkat edin. Bu tanımın kabul edeceği sayılar   vb. formdadır.

YaklaşımlarDüzenle

Genellikle özel fonksiyonlar, argüman(lar)ın reel değerleri için değil, karmaşık düzlem, diferansiyel ve integral ifadeleri içinde tanımlanır. Slag fonksiyonu için mevcut ifadeler olmadığı için, basit yaklaşımlar şöyle öneriliyor.

Süper logaritmaya lineer yaklaşımDüzenle

Süper logaritmaya lineer yaklaşım şöyledir:

 

Bu fonksiyon, tüm reel z (  süreklilik) için süreklidir.

İkinci dereceden yaklaşımDüzenle

Süper logaritmaya ikinci dereceden yaklaşım şöyledir:

 

Bu fonksiyon tüm reel z (  süreklilik) için türevlenebilir.

Abel fonksiyonuna yaklaşımlarDüzenle

Abel fonksiyonu, şu eşitliği sağlayan herhangi bir fonksiyondur:

 

Verilen bir   Abel fonksiyonunun diğer çözümü herhangi sabit   eklenerek elde edilebilir. Verilen bu süper logaritma   olarak tanımlanır ve üçüncü özelliği üstel fonksiyonun Abel fonksiyonu, eşsiz olarak tanımlanabilmesidir.

ÖzelliklerDüzenle

Süper logaritmanın diğer eşitlikleri:

 
  tüm reel z için

Tetrasyonun tersi olarak slagDüzenle

 
Karmaşık z düzlemindeki   fonksiyonu.

Tetrasyon olarak  , analitik fonksiyon olması husunuda şüphelidir. En azından  'nin bazı değerleri için slogb=sexpb−1 ters fonksiyonu analitik olabilir. Karmaşık z düzlemindeki  'nin davranışı, yukarıdaki şekilde,   durumu için çizilmiştir. slog fonksiyonunun sanal kısmının reel ve tam sayı değerlerinin dereceleri kalın çizgilerle gösteriliyor.

Ayrıca bakınızDüzenle

AlıntılarDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle