Notasyon ve terminoloji Düzenle
Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen toplama işareti ile gösterilir[1] ayraçlı yazım ). Toplama işlemi sonucu da eşittir işareti ile belirtilir. Örneğin:
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
2
+
2
=
4
{\displaystyle 2+2=4}
1
+
2
=
3
{\displaystyle 1+2=3}
5
+
4
+
2
=
11
{\displaystyle 5+4+2=11}
birleşme özelliği )
1
+
2
=
2
+
1
=
3
{\displaystyle 1+2=2+1=3}
değişme özelliği )
3
+
3
+
3
+
3
=
12
{\displaystyle 3+3+3+3=12}
çarpma işlemi ) Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı
alt çizginin altına yazılan sayıdır.
Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir tam sayı ile bir kesir toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, karma kesir adı verilen bir toplama işlemi oluşur:[2]
3
1
2
=
3
+
1
2
=
3.5.
{\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}
Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka bağlamlarda çarpma işlemi ile karıştırılabilir.[3]
Seri toplamı da büyük sigma harfi ile belirtilebilir; bu simgelem iterasyonu kompakt şekilde simgeler. Örneğin:
∑
k
=
1
5
k
2
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
4
2
+
5
2
=
55.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}
Toplama işareti "+" (Unicode :U+002B; ASCII : +), "ve " anlamına gelen Latince "et " kelimesinin kısaltmasıdır.[4] [5]
Değişme özelliği Düzenle Toplama işlemi, değişme özelliğine sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, a ve b herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:
a + b = b + a .Birleşme özelliği Düzenle 2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
Toplama işlemi, birleşme özelliğine sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, işlem sırası işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, a , b ve c herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:
a + b + c = (a + b ) + c = a + (b + c ).Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma , kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir.
Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.
Genel özdeşlikler Düzenle
∑
n
=
s
t
C
⋅
f
(
n
)
=
C
⋅
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}
C
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
+
∑
n
=
s
t
g
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
[
f
(
n
)
+
g
(
n
)
]
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
−
∑
n
=
s
t
g
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
[
f
(
n
)
−
g
(
n
)
]
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
=
∑
n
=
s
+
p
t
+
p
f
(
n
−
p
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}
{\displaystyle \;}
∑
n
∈
B
f
(
n
)
=
∑
m
∈
A
f
(
σ
(
m
)
)
{\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))}
∑
n
=
s
j
f
(
n
)
+
∑
n
=
j
+
1
t
f
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
i
=
k
0
k
1
∑
j
=
l
0
l
1
a
i
,
j
=
∑
j
=
l
0
l
1
∑
i
=
k
0
k
1
a
i
,
j
{\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}
{\displaystyle \;}
∑
k
≤
j
≤
i
≤
n
a
i
,
j
=
∑
i
=
k
n
∑
j
=
k
i
a
i
,
j
=
∑
j
=
k
n
∑
i
=
j
n
a
i
,
j
=
∑
j
=
0
n
−
k
∑
i
=
k
n
−
j
a
i
+
j
,
i
{\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
0
t
f
(
2
n
)
+
∑
n
=
0
t
f
(
2
n
+
1
)
=
∑
n
=
0
2
t
+
1
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
0
t
∑
i
=
0
z
−
1
f
(
z
⋅
n
+
i
)
=
∑
n
=
0
z
⋅
t
+
z
−
1
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
i
=
s
m
∑
j
=
t
n
a
i
c
j
=
∑
i
=
s
m
a
i
⋅
∑
j
=
t
n
c
j
{\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
ln
f
(
n
)
=
ln
∏
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \;}
c
[
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
]
=
∏
n
=
s
t
c
f
(
n
)
{\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}
{\displaystyle \;}
(
∑
k
=
0
n
a
k
)
⋅
(
∑
k
=
0
n
b
k
)
=
∑
k
=
0
2
n
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
∑
i
=
n
+
1
2
n
−
k
b
i
+
b
k
∑
i
=
n
+
1
2
n
−
k
a
i
)
{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)}
Bazı polinom terimlerin toplamları Düzenle
∑
i
=
m
n
1
=
n
+
1
−
m
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}1=n+1-m}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
1
i
=
H
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}
∑
i
=
1
n
1
i
k
=
H
n
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}
∑
i
=
m
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
−
m
(
m
−
1
)
2
=
(
n
+
1
−
m
)
(
n
+
m
)
2
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {(n+1-m)(n+m)}{2}}}
∑
i
=
0
n
i
=
∑
i
=
1
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑
i
=
0
n
i
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
=
n
3
3
+
n
2
2
+
n
6
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}
∑
i
=
0
n
i
3
=
[
∑
i
=
0
n
i
]
2
=
[
n
(
n
+
1
)
2
]
2
=
n
4
4
+
n
3
2
+
n
2
4
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left[\ \!\sum _{i=0}^{n}i\,\right]^{2}=\left[\,\!{\frac {n\!\,(n+1)}{2}}\,\!\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
4
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3
n
2
+
3
n
−
1
)
30
=
n
5
5
+
n
4
2
+
n
3
3
−
n
30
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
p
=
(
n
+
1
)
p
+
1
p
+
1
+
∑
k
=
1
p
B
k
p
−
k
+
1
(
p
k
)
(
n
+
1
)
p
−
k
+
1
,
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1},}
B
k
{\displaystyle B_{k}}
Bernoulli sayısını temsil etmektedir.
Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir.
∑
i
=
0
n
i
3
=
(
∑
i
=
0
n
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}}
herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e.,
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
(
∑
i
=
m
n
i
)
2
=
∑
i
=
m
n
(
i
3
−
i
m
(
m
−
1
)
)
{\displaystyle \left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
m
n
i
3
=
(
∑
i
=
m
n
i
)
2
+
m
(
m
−
1
)
∑
i
=
m
n
i
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i}
{\displaystyle \,}
Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleri Düzenle IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır:
∑
i
=
m
n
−
1
a
i
=
a
m
−
a
n
1
−
a
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}}
m < n
∑
i
=
0
n
−
1
a
i
=
1
−
a
n
1
−
a
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}
i
=
0
{\displaystyle i=0}
∑
i
=
0
n
−
1
i
a
i
=
a
−
n
a
n
+
(
n
−
1
)
a
n
+
1
(
1
−
a
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
−
1
i
2
i
=
2
+
(
n
−
2
)
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}}
a = 2)
∑
i
=
0
n
−
1
i
2
i
=
2
−
n
+
1
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}}
a = 1/2)Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleri Düzenle
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
i
(
n
i
)
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
!
⋅
(
n
i
)
=
∑
i
=
0
n
n
P
i
=
⌊
n
!
⋅
e
⌋
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
i
k
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
a
(
n
−
i
)
b
i
=
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}
Binom Teorem ))
∑
i
=
0
n
i
⋅
i
!
=
(
n
+
1
)
!
−
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
i
+
k
P
k
+
1
=
∑
i
=
1
n
∏
j
=
0
k
(
i
+
j
)
=
(
n
+
k
+
1
)
!
(
n
−
1
)
!
(
k
+
2
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
m
+
i
−
1
i
)
=
(
m
+
n
n
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}
{\displaystyle \,}
Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir:
∑
i
=
1
n
i
c
∈
Θ
(
n
c
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}
c sayıları için
∑
i
=
1
n
1
i
∈
Θ
(
log
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)}
∑
i
=
1
n
c
i
∈
Θ
(
c
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}
c sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
∈
Θ
(
n
⋅
log
(
n
)
c
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}
c sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
⋅
i
d
∈
Θ
(
n
d
+
1
⋅
log
(
n
)
c
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}
c, d sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
⋅
i
d
⋅
b
i
∈
Θ
(
n
d
⋅
log
(
n
)
c
⋅
b
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}
b > 1, c , d sayıları için^ "Addition" . www.mathsisfun.com . 20 Mayıs 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2020 . ^ Devine et al. p. 263
^ Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers . Princeton University Press, 2014. p. 161
^ Cajori, Florian (1928). "Origin and meanings of the signs + and -". A History of Mathematical Notations, Vol. 1 ^ "plus." Oxford Dictionary of English 2e , Oxford University Press , 2003.
![{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a762d789e2af544d36eeeefc783b61559d64dc84)
![{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b63ace30b999de1bbdcf04f85ed8c7ce0b7a9a)
![{\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9785e98aeaa82b915e88fd8a263d09d14807e341)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left[\ \!\sum _{i=0}^{n}i\,\right]^{2}=\left[\,\!{\frac {n\!\,(n+1)}{2}}\,\!\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3905bd7852f2ab63cbbe0ddf7056ab86dd78ecdc)
