Toplama

Toplama işlemi (genellikle toplama işareti + ile sembolize edilir) dört ana aritmetik işlemden biridir. Diğer aritmetik işlemler çıkarma, çarpma ve bölmedir. İki doğal sayının toplaması sayı değerlerinin toplamını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, matematik ifadesi ile "3 + 2 = 5" olarak ifade edilir (sözlü olarak "3 artı 2 eşittir 5.)

3+2=5 Elmalar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.

Toplama, öğeleri saymanın yanı sıra, somut nesnelere atıfta bulunmadan, tamsayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar gibi sayılar olarak adlandırılan soyutlamalar kullanılarak da tanımlanabilir ve yürütülebilir. Toplama, matematiğin bir dalı olan aritmetiğe aittir. Matematiğin başka bir dalı olan cebirde, vektörler, matrisler, alt uzaylar ve altöbek gibi soyut nesneler üzerinde de toplama yapılabilir.

Toplama işleminin birkaç önemli özelliği vardır. Toplama, değişme özelliğine sahiptir; bu, terimlerin sırasının işlem sonucu için önemli olmadığı anlamına gelir (ör. $1+2=2+1$.) Toplama, birleşme özelliğine de sahiptir; bu, ekleme işleminin sırasının önemli olmadığı anlamındadır (ör. $(1+2)+3=1+(2+3)$.) 1 sayısının tekrar tekrar eklenmesi, sayı sayma ile aynıdır. 0 sayısının eklenmesi, toplama işleminin sonucunu değiştirmez.

Notasyon ve terminoloji

Toplama işareti

Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen toplama işareti ile gösterilir (i.e. ayraçlı yazım). Toplama işlemi sonucu da eşittir işareti ile belirtilir. Örneğin:

$1+1=2$ ("bir artı bir eşittir iki")

$2+2=4$ ("iki artı iki eşittir dört")

$1+2=3$ ("bir artı iki eşittir üç")

$5+4+2=11$ (birleşme özelliği)

$1+2=2+1=3$ (değişme özelliği)

$3+3+3+3=12$ (çarpma işlemi)

Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı alt çizginin altına yazılan sayıdır.

Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir tam sayı ile bir kesir toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, karma kesir adı verilen bir toplama işlemi oluşur:

$$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.$$

Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka bağlamlarda çarpma işlemi ile karıştırılabilir.

Seri toplamı da büyük sigma harfi ile belirtilebilir; bu simgelem iterasyonu kompakt şekilde simgeler. Örneğin:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Toplama işareti "+" (Unicode:U+002B; ASCII: +), "ve" anlamına gelen Latince "et" kelimesinin kısaltmasıdır. İşaret, 1489 senesine kadarki matematik çalışmalarda görülmektedir.

Özellikler

Değişme özelliği

4 + 2 = 2 + 4

Toplama işlemi, değişme özelliğine sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, a ve b herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b = b + a.

Bu özellik, "değişme yasası" olarak da adlandırılır. Kimi diğer ikili işlemler de değişme özelliğine sahiptir (ör. çarpma); ancak çıkarma ve bölme gibi işlemler de değişmeli değildir.

Birleşme özelliği

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3

Toplama işlemi, birleşme özelliğine sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, işlem sırası işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, a, b ve c herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma, kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir.

Etkisiz eleman

5 + 0 = 5

Herhangi bir sayıya sıfır eklemek sayıyı değiştirmez; bu, sıfırın toplama için etkisiz eleman (aynı zamanda toplamsal birim olarak da bilinir) olduğu anlamına gelir. Sembolik olarak, her bir a için, aşağıdaki eşitlik doğrudur:

a + 0 = 0 + a = a.

Bu yasa, ilk olarak Brahmagupta'nın Brahmasphutasiddhanta'sında M.Ö. 628 yılında tanımlanmıştır. Brahmagupta, bu yasayı a nın negatif, pozitif veya sıfır olmasına göre üç ayrı yasa olarak, cebirsel semboller yerine sözcükler kullanarak yapar. Zamanla, Hintli matematikçiler bu kavramı yeniden tanımlar; 830 senesinde Mahavira, yasayı, "sıfır, kendisine eklenen sayı olur," olarak tanımlar (Sembolik olarak: 0 + a = a). 12. yüzyılda Bhaskara, yasayı, "sayıya sıfırın eklenmesi veya çıkarılması sonucunda, pozitif veya negatif olsun, sayı aynı kalır," şeklinde tanımlamıştır (Sembolik olarak: a + 0 = a).

Ardıl

Ardıl, herhangi bir (a) tamsayısı için (a + 1) tamsayısı olarak tanımlanır. Burada, (a + 1), (a)'dan büyük en küçük tamsayıdır ve (a)'nın ardılıdır. Örneğin, 3, 2'nin ardılıdır ve 7, 6'nın ardılıdır.

Bu ardışıklık nedeniyle, a + b'nin değeri (a)'nın (b)'inci ardılı olarak da görülebilir. Örneğin, 6 + 2 8'e eşittir; çünkü 8, 6'nın ardılı olan 7'nin ardılıdır ve 8 de, 6'nın ikinci ardılıdır.

Birimler

Birimli fiziksel niceliklerin sayısal olarak eklenmesi için, bu niceliklerin aynı birime sahip olmaları gerekir. Örneğin, 150 mililitreye 50 mililitre eklemek 200 mililitre verir. Yanı sıra, birbirine dönüştürülebilen alt-üst birimleri de birbirine eklemek mümkündür. Örneğin, 5 santimetrelik bir niceliğe 10 milimetre eklemek 6 santimetre verir. Fakat, alt-üst birim ilişkisi olmayan birimlerin arasında ekleme işlemi yapılamaz. Örneğin, 2 metre ile 10 metrekareyi toplamak tanımsızdır. Bu kural, boyut analizinin temel kurallarından biridir.

Toplama işlemi yapma

Doğuştan gelen kabiliyetler

1980'lerde başlayan matematiksel gelişim çalışmaları, uyarana karşı alışkanlık kazanma olgusundan yararlanmıştır. Karen Wynn'in 1992'de yaptığı bir deney, bebeklerin beklenmedik durumlara daha uzun süre bakakalıyor olmalarına dayanmıştır. Bu deneyde, bazı Mickey Mouse oyuncakları bir ekranın arkasından farklı düzenlerde beş aylık bebeklere gösterilmiş; bebeklerin 1 + 1'in 2 olduğunu bekledikleri ve 1 + 1'in 1 veya 3 olarak gösterildiği düzenlerde nispeten şaşırdıkları gözlemlenmiştir. Bu bulgu, bu ilk deneyden beri farklı metodolojiler kullanılarak çeşitli gruplar tarafından teyit edilebilmiştir. 1992 yılında bir başka deneyde ise yürümeye yeni başlayan çocukların motor kontrol kabiliyetlerinden yararlanılmıştır. Bu deneyde, 18-35 aylık çocukların bir kutudan ping-pong topları almaları sağlanmış; nispeten büyük çocukların 5'e kadar toplama işlemi yapabildikleri gözlemlenmiştir.

Bazı hayvanlar türleri de, özellikle primatlar, kısıtlı bir toplama kabiliyetine sahiptir. Wynn'e ait 1992 deneyini hayvanlar üzerinde uygulayan 1995 yılında yapılan bir deneyde, oyuncak yerine patlıcan kullanılmış; hint şebeği ve pamuk-başlı tamarin maymunlarının bebeklere benzer bir performans gösterdiği gözlemlenmiştir. Bir diğer deneyde ise, 0 ila 4 arası Arap rakamlarının öğretildiği bir şempanze, daha fazla öğretim almadan iki farklı rakamı toplayabilme kabiliyeti gösterebilmiştir. Yanı sıra, Asya fillerinin de temel aritmetik işlem yapma kabiliyetine sahip oldukları haberleştirilmiştir.

Çocukluk döneminde öğrenim

Genellikle, çocuklar önce saymayı öğrenir. Örneğin, iki öğe ile üç öğenin bir araya getirilmesi gereken bir problem sorulduğunda, küçük çocuklar genellikle parmaklarını kullanarak ya da bir çizim vasıtasıyla durumu modeller ve toplama ulaşırlar. Çocuklar, deneyim kazandıkça, "sayma" stratejisini öğrenirler veya keşfederler: 'iki artı üç' sorusunun sonucu olan beşe, çocuklar, ikiyi "üç, dört, beş" diye üç kere geçerek varırlar. Bu stratejinin evrensel olduğu düşünülmektedir ve çocukların bunu akranlarından ya da öğretmenlerinden kolayca öğrenebildikleri belirtilmektedir.

Tam sayılar ve aritmetik öğretimi farklı ülkelerde farklı yaşlarda başlatılmaktadır; toplama ise pek çok ülkede okul öncesi eğitime dahildir. Fakat, toplama işlemi, dünyanın her yerinde, ilkokulun ilk yılının sonuna kadar öğretilmiş olmaktadır.

Tablo

Genellikle, çocuklara ezberlemeleri için, 0 ve 9 arası sayı çiftlerinin bulunduğu bir toplama tablosu sunulur. Bu tabloyu öğrenen çocuklar herhangi bir toplama işlemini yapabilir.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Ondalık sistem

Toplamayı hızlandırmak ondalık sistem ile mümkündür. Bunun ön koşulu, birtakım "toplama olgularının" akıcı bir şekilde hatırlanması veya türetilmesidir. Bu olgular ezberlenebilirse de; bu olguların yapı-tabanlı teknikler ile hatırlanması çoğu kişi için daha verimli olabilir. Bu olgular şunlardır:

• Bir veya iki eklemesi: 1 veya 2 tam sayısını bir başka sayıya eklemek, sezgi ile gerçekleştirilebilir.

Taşıma

Çok basamaklı tam sayıları toplamak için standart yöntem, toplananları dikey olarak hizalamak ve en sağdaki sütundan başlayarak sütundaki rakamları toplamaktır. Eğer bir sütundaki toplama işlemi dokuzu aşarsa, soldaki komşu sütuna eklenmek üzere bir rakamı "taşınır." Örneğin, aşağıdaki 27 + 59 toplama işleminde

  ¹
  27
+ 59
————
  86

en sağdaki sütun toplamı 7 + 9 = 16 olur ve 1 rakamı komşu sol sütuna taşınır.

Ondalık taban

Ondalık kesirler yukarıdaki işlemin basit bir modifikasyonu ile toplanabilirler.

İki ondalık kesir, ondalık noktası aynı hizada olacak şekilde üst üste konumlanır. Gerekirse, ondalık kısmı daha kısa olan sayıya diğer sayı ile aynı uzunlukta olması için sıfır eklemlenebilir. Son olarak, ondalık noktasının aynı hizada olması sağlanarak 'taşıma' yöntemiyle toplama işlemi gerçekleştirilir.

Örnek olarak, 45.1 + 4.34 işlemi şu şekilde toplanabilir:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Bilimsel gösterim

Ana madde: Bilimsel gösterim

Bilimsel gösterimde, reel sayılar $x=a\times 10^{b}$ şeklinde yazılır. Bu terimde, $a$ tabandır ve $10^{b}$ 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir.

Örneğin:

$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Ondalık-olmayan tabanlarda işlemler

Ana madde: İkili sayı sistemi

Ondalık-olmayan tabanlarda toplama, ondalık tabandaki toplamaya benzerdir. Buna ikili tabanda toplama örnek gösterilebilir. Tek basamaklı ikili sayıları eklemek, yukarıda bahsedilen 'taşıma' yöntemiyle gerçekleştirilebilir:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, 1 taşınır (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

İkili tabanda, iki "1" rakamının eklenmesi "0" rakamını üretir; bir sonraki sütuna da 1 eklenir. Bu, ondalık tabanda belirli rakamların eklenmesinde de görülür Eğer bir sütun toplamı '10' sayısına eşit veya bu sayıdan büyükse, sol sütuna 1 eklenir:

5 + 5 → 0, 1 taşınır (5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, 1 taşınır (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Bu yöntem 'taşıma' (İngilizce carrying) olarak bilinir.

Formel tanım

Toplama işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0$ $\,$,for b < a.

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)$,for b ≥ a.

Özdeşlikler

Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

Genel özdeşlikler

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, sabit C

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$ $\;$

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))$, bir önceki özdeşliğin genel formu

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$ $\;$

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}$ $\;$

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}$ $\;$

$\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)$ $\;$

$\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)$ $\;$

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)$ $\;$

$c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}$ $\;$

$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)$

Bazı polinom terimlerin toplamları

$\sum _{i=m}^{n}1=n+1-m$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {(n+1-m)(n+m)}{2}}$

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left[\ \!\sum _{i=0}^{n}i\,\right]^{2}=\left[\,\!{\frac {n\!\,(n+1)}{2}}\,\!\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1},$

$B_{k}$ Bernoulli sayısını temsil etmektedir.

Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir.

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}$

herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e., $m\in \mathbb {N}$ ):

$\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))$ $\,$

$\sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i$ $\,$

Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleri

IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır:

$\sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}$ m < n

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (indeksi $i=0$ ile başlayan geometrik seriler)

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}$ (a = 2)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}$ (a = 1/2)

Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleri

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$, (Binom Teorem))

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$ $\,$

Büyüme hızları

Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir:

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})$ -1'den büyük reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)$

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})$ 1'den büyük reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ negatif-olmayan reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ negatif-olmayan reel c, d sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ negatif-olmayan reel b > 1, c, d sayıları için