Toplama

aritmetik işlem

Toplama işlemi (genellikle toplama işareti + ile sembolize edilir) dört ana aritmetik işlemden biridir. Diğer aritmetik işlemler çıkarma, çarpma ve bölmedir. İki doğal sayının toplaması sayı değerlerinin toplamını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, matematik ifadesi ile "3 + 2 = 5" olarak ifade edilir (sözlü olarak "3 artı 2 eşittir 5"tir.)

3+2=5 Elmalar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.

Notasyon ve terminolojiDüzenle

 
Toplama işareti

Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen toplama işareti ile gösterilir[1] (i.e. ayraçlı yazım). Toplama işlemi sonucu da eşittir işareti ile belirtilir. Örneğin:

  ("bir artı bir eşittir iki")
  ("iki artı iki eşittir dört")
  ("bir artı iki eşittir üç")
  (birleşme özelliği)
  (değişme özelliği)
  (çarpma işlemi)
 
Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı alt çizginin altına yazılan sayıdır.

Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir tam sayı ile bir kesir toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, karma kesir adı verilen bir toplama işlemi oluşur:[2]

 

Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka bağlamlarda çarpma işlemi ile karıştırılabilir.[3]

Seri toplamı da büyük sigma harfi ile belirtilebilir; bu simgelem iterasyonu kompakt şekilde simgeler. Örneğin:

 

Toplama işareti "+" (Unicode:U+002B; ASCII: +), "ve" anlamına gelen Latince "et" kelimesinin kısaltmasıdır.[4] İşaret, 1489 senesine kadarki matematik çalışmalarda görülmektedir.[5]

ÖzelliklerDüzenle

Değişme özelliğiDüzenle

 
4 + 2 = 2 + 4

Toplama işlemi, değişme özelliğine sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, a ve b herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b = b + a.

Birleşme özelliğiDüzenle

 
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3

Toplama işlemi, birleşme özelliğine sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, işlem sırası işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, a, b ve c herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma, kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir.

Formel tanımDüzenle

Toplama işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:

   ,for b < a.
 ,for ba.

ÖzdeşliklerDüzenle

Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

Genel özdeşliklerDüzenle

 , sabit C
   
   
   
 , bir önceki özdeşliğin genel formu
   
   
   
   
   
   
   
   
 

Bazı polinom terimlerin toplamlarıDüzenle

   
 
 
 
 
 
   
   
 

  Bernoulli sayısını temsil etmektedir.

Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir.

 

herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e.,   ):

   
   

Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleriDüzenle

IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır:

  m < n
  (indeksi   ile başlayan geometrik seriler)
   
  (a = 2)
  (a = 1/2)

Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleriDüzenle

   
   
   
   
 , (Binom Teorem))
   
   
   

Büyüme hızlarıDüzenle

Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir:

  -1'den büyük reel c sayıları için
 
  1'den büyük reel c sayıları için
  negatif-olmayan reel c sayıları için
  negatif-olmayan reel c, d sayıları için
  negatif-olmayan reel b > 1, c, d sayıları için
  1. ^ "Addition". www.mathsisfun.com. 20 Mayıs 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2020. 
  2. ^ Devine et al. p. 263
  3. ^ Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161
  4. ^ Cajori, Florian (1928). "Origin and meanings of the signs + and -". A History of Mathematical Notations, Vol. 1. The Open Court Company, Publishers. 
  5. ^ "plus." Oxford Dictionary of English 2e, Oxford University Press, 2003.