Del işlemcisi
Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve simgesiyle gösterilir.
Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde parçalı türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel ve sayıl alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.
Tanım
değiştirDel işlemcisi tam türevden tanımlanır:
O halde, işlemci
olarak tanımlanmış olur. Burada işlemcisi parçalı türev, 'ler de birim yöneydir. =(1,2,3) n-boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:
olarak genellenebilir. Buradaki 'ler birim yöneylerdir ve =1, 2, ..., n alınır.
Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:
şeklinde de gösterilebilir. tensör gösteriminde 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:
Burada =1,2,3 alınır.
Örnekler
değiştir- Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: yön türevi, diverjans, dönül, laplasyen.
- Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. ve sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,
- Fizikte korunumlu kuvvetler için potansiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir kuvveti için:
ifadesi geçerlidir ki burada göndermesi, eğer elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer kütleçekim kuvveti ise kütleçekimi alanıdır.
Özel görelilikte del işlemcisi
değiştirGenelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi genellikle 3-yöneyler Latin abecesiyle (i, j, k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan abecesiyle ( ) gösterilmektedir.
Del işlemcisi genel olarak her yöne ait parçalı türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:
Burada alınır ve c ışık hızıdır.
Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:
Burada alınır.
Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi
değiştirMaxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.
Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:
Buradaki çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.[1][2][3]
Kaynakça
değiştir- ^ Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
- ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". 1 Mayıs 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2013.
- ^ Moler, ed., Cleve (26 Ocak 1998). "History of Nabla". netlib.org. 12 Mayıs 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2013.