Ana menüyü aç

Akışkanlar dinamiği

(Akışkan dinamiği sayfasından yönlendirildi)
Teardrop shape.svg

Fizik ve mühendislikte, akışkanlar dinamiği, hareket hâlindeki akışkanların (sıvı ve gazlar) nasıl aktığını tanımlayan akışkanlar mekaniğinin bir alt dalı. Kendi içinde aerodinamik (hareket hâlindeki hava ve diğer gazların incelenmesi) ve hidrodinamik (hareket hâlindeki sıvıların incelenmesi) gibi birçok alt disiplini vardır. Akışkanlar dinamiği, uçaklar üzerindeki kuvvet ve momentlerin hesaplanması, boru hattındaki petrolün kütle akış oranının belirlenmesi, hava tahmini, yıldızlararası ortamda bulunan bulutsuların anlamaya çalışılması ve fisyon silahlarının patlamalarının modellenmesi gibi çok geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir.

Akışkanlar dinamiği, akış ölçümlerinden türetilen ve pratik problemleri çözmek için kullanılan deneysel ve yarı-deneysel yasaları birleştirerek sistematik bir yapı sunar. Bir akışkanlar dinamiği probleminin çözümü, tipik olarak, akışkanın hız, basınç, yoğunluk ve sıcaklık gibi çeşitli özelliklerini uzay ve zaman fonksiyonları olarak hesaplamayı içerir.

Yirminci yüzyıldan önce, hidrodinamik akışkan dinamiği ile eş anlamlı olarak kullanılıyordu. Bu yüzden günümüzde akışkanlar dinamiğinin bazı konuları, gazlar için de uygulanabilir olmalarına rağmen hâlâ hidrodinamik ismiyle anılmaktadır.[1] Buna manyetik hidrodinamik ve hidrodinamik stabilite örnek olarak verilebilir.

TemellerDüzenle

Akışkanlar dinamiğinin kurucu aksiyomları korunum yasalarıdır. Bunlar, kütlenin korunumu, momentumun korunumu (Newton'un İkinci Hareket Kanunu) ve enerjinin korunumudur (Termodinamiğin Birinci Yasası). Bu yasalar klasik mekaniğe dayanır, kuantum mekaniğinde ve genel izafiyette modifiye edilirler. Yasaları akışkanlar mekaniğinde daha kullanışlı şekilde ifade etmek için Reynolds Transport Teoremi kullanılır.

Akışkanlar aslında birbiriyle çarpışan moleküllerden oluşur; ancak akışkanlar dinamiğinde akışkanların sürekli ortamda oldukları varsayılır. Buna göre akışkanların yoğunluk, basınç, sıcaklık ve hız gibi özellikleri uzayda sonsuz küçük noktalarda süreklilik içinde her zaman tanımlıdır. Böylece akışkanların ayrık moleküllerden oluştuğu ihmal edilir.

Süreklilikte olduğu varsayılabilecek kadar yoğun, ışık hızına göre düşük akış hızına sahip ve iyonize olmamış Newton tipi akışkanlar için momentum denklemleri Navier-Stokes denklemleridir. Bu denklemler, doğrusal olmayan diferansiyel denklem sistemi oluşturur ve sadeleştirilmemiş genel kapalı formda çözümü yoktur. Bu yüzden hesaplamalı akışkanlar dinamiği kullanılarak çözülürler. Denklemler, yalnızca bazı basit akışkanlar dinamiği problemlerinde sadeleştirilip kapalı formda analitik olarak çözülebilir.

Bir problemi tam olarak tanımlayabilmek için, kütle, momentum ve enerji korunum denklemlerine ek olarak, basıncı diğer termodinamik özelliklerin fonksiyonu olarak veren bir termodinamik hâl denklemi gereklidir. İdeal gaz denklemi buna örnek olarak gösterilebilir:

p basınç, ρ yoğunluk, T sıcaklık, Ru gaz sabiti ve M mol kütlesi olmak üzere

 

Korunum yasalarıDüzenle

Akışkanlar dinamiği problemlerini çözmek için üç korunum yasası kullanılır. Bunlar, integral veya diferansiyel formda yazılabilir. Korunum yasaları kontrol hacmi denilen bir akış bölgesine uygulanabilir. Kontrol hacmi, uzayda akış analizi için seçilmiş ve yüzeylerinden akışın giriş/çıkış yapabildiği ayrık hacimdir.[2] Korunum yasalarının integral formülasyonu bütün olarak kontrol hacmi içindeki kütle, momentum ve enerji değişimlerini tanımlar. Korunum yasalarının diferansiyel formülasyonunda ise akış alanı boyunca art arda ve birbiri üstüne istiflenmiş sonsuz küçük kontrol hacimleri analiz edilir. Limit durumunda bu sonsuz küçük hacimler birer nokta olacağından korunum denklemleri akış içindeki her yerde geçerli bir kısmi diferansiyel denklem sistemine dönüşür.[3]

  • Kütlenin sürekliliği (kütlenin korunumu): Bir kontrol hacmi sınırları içerisindeki akışkan kütlesinin değişme hızı, kontrol hacmine giren net kütlesel debiye eşittir.[4] Bu, fiziksel olarak kontrol hacmi içinde kütlenin yokken var, varken yok edilemeyeceğini gerektirir[5] ve süreklilik denkleminin integral formuyla ifade edilebilir:
      
Yukarıda   akışkanın yoğunluğunu, u akış hız vektörünü ve t zamanı temsil etmektedir. Denklemin sol tarafı kontrol hacmi içindeki kütle değişim hızını gösterir ve kontrol hacmi üzerinde üç katlı bir integral içerir. Denklemin sağ tarafında ise denklemin yüzeyinden net kütle geçişini temsil eden bir integral vardır. Süreklilik denkleminin diferansiyel formülasyonu diverjans teoremi kullanılarak bulunabilir:
 
  • Momentumun korunumu: Bu denklem, bir kontrol hacmi içindeki havanın ivme herhangi bir değişiklik hacmine hava net akışı ve hava dış kuvvetlerin etkisine bağlı olmasını gerektiren, kontrol hacmine Newton'un hareket kanunu uygular ikinci hacmi içinde. Bu denklemin integral formülasyonu olarak, burada vücut kuvvetleri, f vücut tarafından birim kütle başına vücut kuvvetini temsil edilmektedir. Böyle viskoz kuvvetler gibi yüzey kuvvetleri, nedeniyle kontrol hacmi yüzeyinde gerilimlere Fnet kuvvet ile temsil edilir.
             
Aşağıdaki gibi momentumun korunumu denklemi diferansiyel şeklidir. Tek toplam kuvvet, F. Örneğin, F bir iç akış üzerinde etkili sürtünme ve yerçekimi kuvvetleri için bir ifade haline genişletilebilir burada, hem yüzey ve cisim kuvvetleri muhasebeleştirilmektedir.
 
Aerodinamik hava (nedeniyle iç sürtünme kuvvetlerine) kesme stresi arasındaki doğrusal bir ilişki öne süren bir Newton tipi sıvı ve sıvı gerinme oranı olarak kabul edilir. Yukarıdaki denkleme göre bir vektör denklemi: üç boyutlu akışta, üç skaler denklem şu şekilde ifade edilebilir. Sıkıştırılabilir, viskoz akış durumu için momentum denklemlerinin korunumu Navier-Stokes denklemleri denir.
  • Enerji korunumu: enerjinin bir formdan dönüştürülebilir, ancak, belirli bir kapalı bir sistem içinde, toplam enerji sabit kalır.
 
Yukarıda h entalpi, k sıvının ısı iletkenliği, T sıcaklığı, ve \ Phi viskoz yayılma fonksiyonudur. Viskoz yayılma fonksiyonu akışının mekanik enerji ısıya dönüşür hızını yönetir. Termodinamiğin ikinci yasası dağılımı terim her zaman pozitif olmasını gerektirir: viskozite kontrol hacmi içinde enerji oluşturmak olamaz  sol tarafta ifadesi maddi türevidir..

Sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışDüzenle

Bütün sıvılar, bir dereceye kadar sıkıştırılabilir yani, yoğunluk basınç ya da sıcaklık sebebi değişiklikleri de kapsamaktadır. Bununla birlikte, birçok durumda basınç ve sıcaklık değişiklikleri yoğunluğunda değişimler ihmal edilebilir şekilde yeterince küçüktür. Bu durumda akım bir sıkıştırılamaz akış olarak modellenebilir. Aksi takdirde daha genel sıkıştırılabilir akış denklemleri kullanılmalıdır.

 Matematiksel olarak, sıkıştırılamazlık akış alanında hareket ederken bir sıvı parselin yoğunluğu ρ, yani değişmez söyleyerek ifade edilir, 

    

 Burada D / Dt, yerel ve konvektif türevlerinin toplamıdır büyük türevidir. Bu ek kısıtlama, özellikle sıvı, homojen bir yoğunluğa sahip olması durumunda, denklemleri kolaylaştırır.

Sıkıştırılabilir veya sıkıştırılamaz akışkan dinamiği kullanımı olup olmadığını belirlemek için gaz akışının için, akış Mach sayısı değerlendirilir. Kaba bir kılavuz olarak sıkıştırılabilir etkileri yaklaşık 0.3 altında Mach sayılarında göz ardı edilebilir. Sıvılar için, sıkıştırılamaz varsayım geçerli olup olmadığını akışkan özelliklerinin (özellikle kritik basınç ve sıvı sıcaklığı) ve akış koşulları (nasıl gerçek akış basınç olur kritik basınca kapat) bağlıdır. Ses dalgalarının basıncı ve yaymak geçtiği ortamın yoğunluğu değişiklikleri içeren kompresyon dalgaları beri Akustik sorunlar her zaman, sıkıştırılabilirliğini izin gerektirir.

Newton tipi ve Newton tipi olmayan akışkanlarDüzenle

Tüm sıvılar bunlar deformasyona karşı direnç gösterirler, yani viskoz şunlardır: Farklı hızlarda hareket eden akışkan komşu parsellerin birbirlerine viskoz kuvvet sarfederler. Hız gradyanı bir gerilme oranı olarak ifade edilir; o boyutlara T ^ vardır {- 1}. Newton'un su ve hava gibi birçok bilinen sıvılar için, bu viskoz kuvvetlere bağlı stres doğrusal streyn oranı ile ilişkili olduğunu göstermiştir. Bu sıvılar, Newton sıvılarının olarak adlandırılır. Orantılılık katsayısı sıvının viskozitesinin denir; Newton tipi akışkanlar için, bu şekil değiştirme hızının bir sıvı özelliği bağımsızdır.

Non-Newtonian akışkanlar daha karmaşık, doğrusal olmayan gerilme-deformasyon davranışı. Reolojinin alt disiplin emülsiyonlar ve çamurlar, kan gibi bazı viskoelastik malzemeler ve bazı polimerler ve bu lateks, bal gibi yapışkan sıvılar ve yağlayıcılar içeren bu akışkanların, gerilme-deformasyon davranışları inceler. [Kaynak belirtilmeli]

Viskoz ve viskoz olmayan akışDüzenle

Sıvı parsellerin dinamik Newton'un ikinci yasası yardımıyla tarif edilmektedir. Sıvının bir hızlandırma parsel atalet etkileri bağlıdır.

Reynolds sayısı viskoz etkilerin büyüklüğü ile karşılaştırıldığında atalet etkileri büyüklüğünü karakterize bir boyutsuz bir büyüklüktür. Düşük bir Reynolds sayısı (Re << 1), viskoz kuvvetleri atalet kuvvetlerine kıyasla çok güçlü olduğunu gösterir. Bu gibi durumlarda, atalet kuvvetleri bazen ihmal edilir; Bu akış rejimi Stokes veya sürünen akış denir.

Aksine, yüksek Reynolds sayıları (Re >> 1) atalet etkileri viskoz (sürtünme) etkilerinden daha hız alanında daha fazla etkiye sahip olduğunu göstermektedir. Yüksek Reynolds sayısı akışları, akış genellikle bir sürtünmesiz akış olarak viskozite tamamen ihmal edildiği bir yaklaşım modellenmiştir. Navier-Stokes denklemleri daha sonra Euler denklemleri içine basitleştirmek. Bir sürtünmesiz akışında bir akım çizgisi boyunca bu entegre Bernoulli denklemini verir. Sürtünmesiz olmanın yanı sıra, akım, her yerde irrotasyonel olduğunda, Bernoulli denklemi akış alanı boyunca kullanılabilir. Hız alanı potansiyeli gradyanı olarak ifade edilebilir, çünkü bu tür akımlar, potansiyel akışı olarak adlandırılır.

Reynolds sayısı yüksek olduğunda bu fikri oldukça iyi çalışabilir. Bununla birlikte, bu gibi katı sınırları içeren bu gibi sorunlar viskozite dahil edilmesi gerekebilir. Kaymama koşulu viskozite etkileri hakim olduğu ve dolayısıyla girdap üretir büyük gerilme oranı, sınır tabaka, ince bir bölgeyi oluşturur çünkü Viskozite katı sınırları yakınında ihmal edilemez. Bu nedenle, organları (örneğin kanatlar gibi) net kuvvetleri hesaplamak için, viskoz akış denklemleri kullanılmalıdır: viskoz olmayan akış teorisi sürükleme kuvvetleri, d'Alembert paradoksu olarak bilinen bir sınırlama tahmin başarısız olur.

Yaygın olarak kullanılan [kaynak belirtilmeli] modeli, özellikle hesaplamalı akışkanlar dinamiği içinde, iki akış modelleri kullanmak için: Euler vücudunuza yakın bir bölgede bedenin ve sınır tabaka denklemlerinin uzak denklemler. İki çözüm sonra eşleşti asimtotik açılımlar yöntemi kullanılarak, birbirleri ile uyumlu olabilir.

Daimi ve daimi olmayan akışDüzenle

Bir akış alanının her zaman türevleri kaybolur zaman akış sürekli akış olarak kabul edilir. Kararlı hal akış sisteminde bir noktada akışkan özellikleri zamanla değişmez duruma gelir. Aksi takdirde, akım denir durağan olmayan (diğer bir deyişle, geçici [5]). Belirli bir akış kararlı ya da kararsız olsun, referans seçilen çerçevesine bağlı olabilir. Örneğin, bir küre üzerinde laminer akış küre ile ilgili olarak sabit bir referans çerçevesi içine sabit. Arka plan akışına göre sabit olan bir referans çerçevesi, akış kararsız.

Türbülanslı akışlar tanımı gereği kararsız bulunmaktadır. Bir türbülanslı akış, ancak istatistiksel olarak sabit olabilir. Papa'ya göre:

Tüm istatistikler zaman bir kayma altında değişmeyen ise rastgele alan U (x, t) istatistiksel sabittir.

Bu kabaca tüm istatistiksel özellikleri zaman içinde sabit olduğu anlamına gelir. Çoğu zaman, ortalama alan ilgi amacı, bu istatistiksel olarak sabit bir akış çok sabittir.

Sabit akımları genellikle aksi benzer kararsız akışları daha uysal bulunmaktadır. Istikrarlı bir sorun denklemleri akış alanının metanet yararlanarak olmadan aynı sorunun denklemlerin dışında (zaman) bir boyut daha az var.            

Laminer ve türbülanslı akışDüzenle

Türbülans sirkülasyonu, girdapların ve belirgin rastgelelik ile karakterize akışı. Türbülans sergilenmeyen olan akış laminer olarak adlandırılır. Bu girdaplar veya tek başına sirkülasyonu varlığı zorunlu türbülanslı akış-bu olayların yanı sıra laminer akış mevcut olabilir anlamına gelmez ki, unutulmamalıdır. Matematiksel olarak, türbülanslı akış genellikle akış ortalama bileşenin toplamı ve bir pertürbasyon bileşeni içine bozuldu olduğu bir Reynolds ayrışma yoluyla temsil edilir.

Bu türbülanslı akışlar Navier-Stokes denklemlerinin kullanımı ile de tarif edilebilir olduğuna inanılmaktadır. Navier-Stokes denklemlerine dayanan Doğrudan sayısal simülasyon (DNS), mümkün ılımlı Reynolds sayılarında türbülanslı akışları simüle yapar. Kısıtlamalar kullanılan bilgisayarın gücü ve çözüm algoritmasının verimliliğine bağlıdır. DNS sonuçları bazı akımları için deneysel verilerle uyum bulunmuştur.

Ilgi Çoğu akışları, uygulanabilir bir seçenek olarak DNS çok yüksek Reynolds numaraları önümüzdeki birkaç on yıl için hesaplama gücü durumunu verilen. Bir insan (L> 3 m) taşımak için yeterince büyük herhangi bir uçuş aracı, daha hızlı 72 km / s'den (20 m / s) de DNS simülasyon (Re = 4000000) sınırının ötesinde. (Böyle bir Airbus A300 veya Boeing 747 üzerinde gibi) nakliye uçağı kanatları (kanat akor göre) 40 milyon Reynolds numaraları var. Bu gerçek hayat akışı sorunlarını çözme öngörülebilir gelecekte türbülans modellerini gerektirir. Türbülans modelleme ile birlikte Reynolds ortalamalı Navier-Stokes denklemleri (RANS) türbülanslı akış etkileri bir model sunmaktadır. Türbülans da ısı ve kütle transferini artırır rağmen böyle bir modelleme ağırlıklı Reynolds tarafından ek momentum transferi vurguluyor sağlar. Başka bir gelecek vadeden metodoloji özellikle RANS türbülans modelleme ve büyük girdap simülasyon bir kombinasyonudur -ki müstakil girdap simülasyon (DES) kılığında, büyük girdap simülasyon (LES) 'dir.

Sesaltı, sesüstü ve sonik akışlarDüzenle

Birçok karasal akışlar (bir boru aracılığıyla suyun örneğin akışı) düşük mach sayılarında meydana iken, pratik ilgi (örneğin aerodinamik olarak) birçok akımları Mach sayısı M = 1, yüksek fraksiyonları veya bunun (süpersonik akımlar) aşan meydana gelir. Yeni fenomen (nedeniyle hipersonik akışlarında iyonizasyon denge dışı kimyasal davranışı, 1 neredeyse eşit M akışlarının bir rejimde süpersonik akış, transonik istikrarsızlık örneğin şok dalgaları) bu Mach sayısı rejimlerin meydana ve her tedavi için gerekli olan bu ayrı rejimleri akış.

Manyetik hidrodinamikDüzenle

Magnetohidrodinamik elektromanyetik alanlarda elektrik iletken sıvıların akışını multidisipliner bir çalışmadır. Bu tür akışkanların örnekleri plazmalar, sıvı metalleri, ve tuzlu su içerir. Sıvı akış denklemleri Maxwell'in elektromanyetizma denklemleri ile eş zamanlı olarak çözülmüştür.

Diğer yaklaşımlarDüzenle

Sıvı dinamik sorunlara diğer olası yaklaşımları çok sayıda vardır. Daha yaygın olarak kullanılan bazıları aşağıda listelenmiştir.

-Yüzdürme kuvvetleri hesaplamak dışında Boussinesq yaklaşımı yoğunluğu varyasyonları ihmal. Genellikle yoğunluk değişiklikleri küçük serbest konveksiyon problemlerinde kullanılır.

-Yağlama teorisi ve Hele-Shaw akış denklemlerinin bazı terimler küçük ve böylece ihmal edilebilir olduğunu göstermek için etki alanının geniş en boy oranını patlatır.

-İnce vücut teorisi üzerine kuvvet tahmin veya viskoz sıvı içinde, etrafında uzun ince bir nesne alanını akış Stokes akış problemlerinde kullanılan bir yöntemdir.

-Sığ su denklemleri yüzey gradyanlar, küçük olan bir serbest yüzeye sahip nispeten viskoz olmayan sıvının bir tabaka tarif etmek için kullanılabilir.

-Boussinesq denklemleri sıvı kalın katmanlarda ve dik yüzey eğimli dalgalar yüzey için geçerlidir.

-Darcy kanunu gözenekli ortamda akış için kullanılan ve değişkenler çeşitli gözenek genişlikleri üzerinde ortalaması ile çalışır.

-Dönen sistemlerde, Yarı-jeostrofik denklemler basınç eğimleri ve Coriolis kuvveti arasında neredeyse mükemmel bir denge varsayıyorum. Atmosferik dinamikleri çalışma yararlıdır.

TerminolojiDüzenle

Basınç kavramı sıvı statiği ve akışkan dinamiği hem de çalışmaya merkezidir. Bir basınç ne olursa olsun, sıvı hareket olup olmadığı, sıvının bir gövde her noktası için tespit edilebilir. Basınç aneroid, Bourdon tüp, cıva sütunu veya çeşitli başka yöntemler kullanılarak ölçülebilir.

Akışkanlar dinamiği çalışmalarında gerekli olan terminoloji bazı çalışma benzeri yerlerde bulunmaz. Özellikle, akışkan dinamiği kullanılan terminoloji bazı sıvı statiği kullanılmaz.

Sıkıştırılamaz akışkanlar mekaniği terminolojisiDüzenle

Toplam basınçta ve dinamik basınç kavramları Bernoulli denklemi ortaya çıkar ve sıvı akışlarının çalışmada anlamlıdır. Akışkan dinamiği basınç bahsederken olası karışıklığı önlemek için, (Bu iki baskılar-onlar anlamda bir aneroid, Bourdon tüp veya cıva sütunu kullanılarak ölçülen olamaz. Her zamanki basınçlar değil), birçok yazar ayırt etmek vadeli statik basınç kullanmayın toplam basınç ve dinamik basınç. Statik basınç basıncı ile aynıdır ve bir sıvı akış alanı içinde her nokta için tespit edilebilir.

Aerodinamik olarak, LJ Clancy yazıyor:  total ve dinamik baskılardan ayırt etmek değil, onun hareketi ile ancak devlet ile ilişkili sıvı gerçek basınç, genellikle statik basınca olarak anılacaktır, ama nerede olduğunu Yalnız süreli basınç, bu statik basınç atıfta kullanılır.

Akış (yani hız sıvı akışı dalmış bazı katı vücuduna bitişik sıfıra eşit) dinlenmek için gelmiş bir sıvı akışı içinde bir nokta özel bir önem taşımaktadır. Bu özel bir isim bir durgunluk noktasına verilir gibi önem taşımaktadır. Durgunluk noktasındaki statik basınç özel önem taşımaktadır ve kendi ad durgunluk basıncı verilir. Sıkıştırılamaz akışlar ise, bir durgunluk noktada durgunluk basınç akış alanı boyunca toplam basınca eşittir.

Sıkıştırılabilir akışkanlar mekaniği terminolojisiDüzenle

Sıvı durumunu belirlerken sıkıştırılabilir bir sıvı olarak, örneğin hava gibi, ısı ve basınç gereklidir. Toplam basıncın kavramı (aynı zamanda durgunluk basıncı olarak da bilinir) ek olarak, toplam (veya durgunluk), sıcaklık ve toplam (veya durgunluk) yoğunluk kavramları da sıkıştırılabilir akışkanlar arasında herhangi bir çalışma gereklidir. Sıcaklık ve yoğunluk söz ederken olası karışıklığı önlemek için, pek çok yazar terimleri statik sıcaklık ve statik yoğunluk kullanın. Statik sıcaklığı sıcaklığına aynıdır; ve statik yoğunluğunun yoğunluğu aynıdır; ve her ikisi de sıvı bir akış alanı içinde her nokta için tespit edilebilir.

Bir durgunluk noktasındaki sıcaklık ve yoğunluk durgunluk sıcaklık ve durgunluk yoğunluğu denir.

Benzer bir yaklaşım da sıkıştırılabilir akışkanların termodinamik özellikleri ile alınır. Birçok yazar terimleri toplam (ya da durgunluk) entalpi ve toplam (veya durgunluk) entropi kullanın. Terimleri statik entalpi ve entropi statik az yaygın görünen, ancak kullanıldığı yerlerde onların 'toplam' veya 'durgunluk' meslektaşları ile karışıklığı önlemek için "statik" öneki kullanarak, sırasıyla entalpisi ve entropi anlamına gelir. 'Toplam' akış koşullarının izentropik dinlenme sıvının getirerek tanımlanan Çünkü, toplam (ya da durgunluk) entropi "statik" entropi her zaman eşit tanımı gereği olduğunu.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Eckert, Michael (2006). The Dawn of Fluid Dynamics: A Discipline Between Science and Technology. Wiley. s. ix. ISBN 3-527-40513-5. 
  2. ^ Çengel, Yunus; Cimbala, John; Engin, Tahsin (ed.) (2015). "Bölüm 1: Giriş ve Temel Kavramlar". Akışkanlar Mekaniği Temelleri ve Uygulamaları. Palme Yayıncılık. s. 15. ISBN 978-605-355-274-1. 
  3. ^ Çengel, Yunus; Cimbala, John; Engin, Tahsin (ed.) (2015). "Bölüm 9: Diferansiyel Akış Analizi". Akışkanlar Mekaniği Temelleri ve Uygulamaları. Palme Yayıncılık. s. 438. ISBN 978-605-355-274-1. 
  4. ^ Çengel, Yunus; Cimbala, John; Engin, Tahsin (ed.) (2015). "Bölüm 5: Bernoulli ve Enerji Denklemleri". Akışkanlar Mekaniği Temelleri ve Uygulamaları. Palme Yayıncılık. ss. 189-190. ISBN 978-605-355-274-1. 
  5. ^ Anderson, J. D. (2007). Fundamentals of Aerodynamics (4. bas.). London: McGraw–Hill. ISBN 0-07-125408-0.