Beta dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistikte, beta dağılımı, [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile ifade edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir. Çok değişkenli genellemesi Dirichlet dağılımıdır.

Beta

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$\alpha >0$ şekil (reel) $\beta >0$ şekil (reel)
Destek	$x\ [0;1]icinde\!$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
Ortalama	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
Medyan
Mod	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ burada $\alpha >1,\beta >1$
Varyans	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
Çarpıklık	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Fazladan basıklık	metine bakın
Entropi	metine bakın
Moment üreten fonksiyon (mf)	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Karakteristik fonksiyon	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

0 ≤ x ≤ 1 aralığında ve α, β > 0 şekil parametreleri için beta dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, x değişkeni ve (1-x) yansımasının bir kuvvet fonksiyonudur ve şöyle ifade edilir:

${\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}$

Burada $\Gamma$ bir gama fonksiyonudur. $\mathrm {B}$ beta fonksiyonu toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!$

Burada $\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )$ bir tamamlanmamış beta fonksiyonu ve $I_{x}(\alpha ,\beta )$, düzenlenmiş beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler

Momentler

Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan X için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)=&{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\\operatorname {Var} (X)=&{\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\end{aligned}}$

Çarpıklık şöyle ifade edilir:

${\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.\,\!$

Fazladan basıklık şudur:

$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.\,\!$

Enformasyon miktarları

İki beta dağılımı gösteren rassal değişken X ~ Beta(α, β) ve Y ~ Beta(α', β') olsun. X için enformasyon entropisi değeri şudur:

${\begin{aligned}H(X)&=\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}\,$

Burada $\psi$ bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur:

$H(X,Y)=\ln \mathrm {B} (\alpha ',\beta ')-(\alpha '-1)\psi (\alpha )-(\beta '-1)\psi (\beta )+(\alpha '+\beta '-2)\psi (\alpha +\beta ).\,$

Bundan çıkarılır ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:

$D_{\mathrm {KL} }(X,Y)=\ln {\frac {\mathrm {B} (\alpha ',\beta ')}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}-(\alpha '-\alpha )\psi (\alpha )-(\beta '-\beta )\psi (\beta )+(\alpha '-\alpha +\beta '-\beta )\psi (\alpha +\beta )$

Şekiller

Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

• $\alpha <1,\ \beta <1$ U-şekilli (kırmızı çizgi)
• $\alpha <1,\ \beta \geq 1$ veya $\alpha =1,\ \beta >1$ kesinlikle düşüş gösterir (mavi çizgi)
  • $\alpha =1,\ \beta >2$ kesinlikle konveks
  • $\alpha =1,\ \beta =2$ bir doğrudur
  • $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ kesinlike konkav
• $\alpha =1,\ \beta =1$ tekdüze dağılım
• $\alpha =1,\ \beta <1$ veya $\alpha >1,\ \beta \leq 1$ kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
  • $\alpha >2,\ \beta =1$ kesinlikle konvekstir
  • $\alpha =2,\ \beta =1$ bir doğrudur
  • $1<\alpha <2,\ \beta =1$ kesinlikle konkavdır
• $\alpha >1,\ \beta >1$ tek modludur (mor ve siyah çizgiler)

Bunların yanında, eğer $\alpha =\beta$ ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

İlişkili dağılımlar

• Binom dağılımı ile ilişki aşağıda belirtilmiştir.
• Beta(1,1) standard bir sürekli tekdüze dağılım ile aynıdır.
• Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani X Gamma(α, θ) ve Y Gamma(β, θ) ise, o zaman

X / (X + Y)

ifadesinin dağılımı Beta(α,β) olur.

• Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2β ve 2α serbestlik dereceleri ile Snedor'un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani X Beta (α,β) ve Y 'F(2β,2α) ise; o halde

Pr(X ≤ α/(α+xβ)) = Pr(Y > x) butun x > 0 için.

• Beta dağılımı sadece iki parametresi olan bir Dirichlet dağılıminin özel halidir.
• Kumaraswamy dağılımi beta dağılımına benzerlik gösterir.
• Eğer $X\sim {\rm {U}}(0,1]\,$ ifadesi bir tekdüze dağılım gösteriyorsa, o halde

$X^{2}\sim {\rm {Beta}}(1/2,1)\$

veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

$X^{2}\sim {\rm {Beta}}(0,1,1/2,1)\$

olur.

• Subjektif mantık konusunda ele alınan binom kanıları matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .

Uygulamalar

B(i, j) tam sayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin x'ten daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden en aşağı i tanesinin x'ten daha küçük değer göstermesi olayının olasılığıdır. Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x'e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkça gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önseller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz önsel olduğu için birçok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolü kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolü için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

${\begin{aligned}\mathrm {ortalama} (X)&{}=E(X)={\frac {a+4b+c}{6}},\\\mathrm {std.sap.} (X)&{}={\frac {c-a}{6}},\end{aligned}}$

Burada a minimum değer, c maksimum değer ve b en mümkün olabilir değerdir.

Dış bağlantılar

• [1]15 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Beta dağılımı- MathWorld.
• [2]3 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. "Beta dağılımları" - Fiona Maclachlan, Wolfram Gösteri Projesi, 2007.
• [3]23 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Beta dağılımı - Genel görüş ve bir örnek - xycoon.com
• [4].asp Beta dağılımı, brighton-webs.co.uk