Çevre açı

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.

Çevre açı , çember üzerindeki aynı yayı oluşturan (veya gören) merkezi açı 'nın yarısıdır. Böylece, açısı, tepe noktası çember üzerinde hareket ettirildikçe değişmez.

Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır.

Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.

Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.

TeoremDüzenle

AçıklamaDüzenle

 
Sabit   ve   noktaları için,   açısının eşit olduğu düzlemdeki   noktaları kümesi   bir çemberin yaydır.  'nun çemberin merkezi olduğu  'nin ölçüsü,  'dır.

Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir   açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı  'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.

İspatDüzenle

Bir kirişin çap olduğu çevre açılarDüzenle

 
Durum: Bir kiriş çaptır.

Şekilde görüldüğü gibi   bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara   ve   diyelim.   doğrusunu çizelim ve  'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece   noktasının çapa göre zıttı olan   noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası   olan ve kenarları   ve   noktalarından geçen bir açı çizelim.

  doğrusunu çizelim. Açı  , bir merkez açıdır; buna   diyelim.   ve   çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle,   üçgeni ikizkenardır, öyle ise   açısı (çevre açı) ve   açısı eşittir; her birini   olarak gösterelim.

  ve   açıları bütünlerdir.  'dan geçen   çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları  'ye kadar artar. Bu nedenle,   açısının ölçüsü olarak   alınabilir.

Bir üçgenin üç açısının toplamının   olduğu ve   üçgeninin üç açısının:

 
 
 .

Bu nedenle,

 

Her iki taraftan 180° çıkarırsak,

 

burada  ,   yayını gören merkez açı ve  ,   yayını oluşturan çevre açıdır.

Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılarDüzenle

 
Durum: İçten açıya merkez

Merkezi   noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta  ,   ve   alalım.   ve   doğrularını çizelim:   açısı, bir çevre açıdır. Şimdi   doğrusunu çizelim ve onu   noktasında çemberle kesişecek şekilde   noktasını geçecek şekilde uzatalım.   açısı, çember üzerindeki   yayını görür.

Bu yayın, içinde   noktasını içerdiğini varsayalım.   noktası,   noktasının çapa göre karşısıdır.   ve   açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

 

o zaman,

 
 
 

Böylece

 

  ve   doğrularını çizelim.   ve   açıları gibi   açısı da merkezi bir açıdır ve

 
 
 
 

olsun, böylece

 

Birinci bölümden biliyoruz ki   ve  'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:

 

bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir:

 

Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılarDüzenle

 
Durum: Merkez, açının dışında

Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.

Merkezi   noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta  ,   ve   seçilsin.   ve   doğrularını çizelim:   açısı, bir çevre açıdır. Şimdi   doğrusunu çizelim ve   noktasında çemberle kesişecek ve   noktasını geçecek şekilde uzatalım.   açısı, çember üzerindeki   yayını görür.

Bu yayın, içinde   noktasını içermediğini varsayalım.   noktası,   noktasının çapa göre zıttıdır.   ve   açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

 .

o zaman,

 
 
 

olsun, böylece

 

  ve   doğrularını çizelim.   ve   açıları gibi   açısı da merkezi bir açıdır ve

 
 
 
 

olsun, böylece

 

Birinci bölümden biliyoruz ki    ve şu  . Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi,

 

bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır:

 

SonuçDüzenle

Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.

UygulamalarDüzenle

Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman  , yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı  'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleriDüzenle

Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle