Zeta dağılımı

zeta
	Olasılık kütle fonksiyonu; ; log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak için verilmiştir; süreklilik ifade etmezler.)
	Yığmalı dağılım fonksiyonu; ;
Parametreler
Destek
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan
Mod
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır.^[1]^[2] Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Momentler

Genel olarak, ninci ham moment Xⁿin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve $e^{t}<1$ için geçerlidir ve bu halde

M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}},

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

\scriptstyle |t|\,<\,2\pi

için şu ifadeyi elde ederiz:

{\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}

$\scriptstyle \Phi (s,t)$ değeri şöyle verilir

\Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots

\Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots

\Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,

burada H_s bir harmonik sayı olur.

s=1 hali

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}

var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

\lim _{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

\log(d+1)-\log(d),\,

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

Kaynakça

^ Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.
^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.

Ayrıca bakınız

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

Dış bağlantılar

Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır

[OlasılıkFelsefe-1] Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.

[Uygulamalıİstatistik-2] Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.

[1]

[2]

Olasılık kütle fonksiyonu log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak için verilmiştir; süreklilik ifade etmezler.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$s\in (1,\infty )$
Destek	$k\in \{1,2,\ldots \}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}$
Ortalama	${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2$
Medyan
Mod	$1\,$
Varyans	${\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3$
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi	$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}$
Karakteristik fonksiyon	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}$