Cauchy dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Cauchy-Lorentz dağılımı bir sürekli olasılık dağılımı olup, bu dağılımı ilk ortaya atan Augustin Cauchy ve Hendrik Lorentz anısına adlandırılmıştır. Matematik istatistikçiler genel olarak Cauchy dağılımı adını tercih edip kullanmaktadırlar ama fizikçiler arasında Lorentz dağılımı veya Lorentz(yen) fonksiyon veya Breit-Wigner dağılımı olarak bilinip kullanılmaktadır.

Cauchy-Lorentz

Olasılık yoğunluk fonksiyonu Yeşil çizgi standart Cauchy fonksiyonunu gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu Renkler yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu eğrilerinin aynıdır.
Parametreler	$x_{0}\!$ konum (reel) $\gamma >0\!$ olcek (reel)
Destek	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
Ortalama	tanımlanmamış
Medyan	$x_{0}$
Mod	$x_{0}$
Varyans	tanımlanmamış
Çarpıklık	tanımlanmamış
Fazladan basıklık	tanımlanmamış
Entropi	$\ln(4\,\pi \,\gamma )\!$
Moment üreten fonksiyon (mf)	{{{mf}}}
Karakteristik fonksiyon	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!$

Fizik biliminde Cauchy-Lorentz dağılımının kullanıldığı alanların bazıları şöyle anılabilir: Zorlanan rezonans fenomenini açıklayan deferensiyel eşitliğine çözüm sağlaması, spektroskopi alanında bir doğruşekil ile ayrım gösteren frekans aralığında aynı şekilde tüm atomlar birbirleriyle karşılıklı etkilemekteyken homojen genişlemeye tabi olmaları sonucu ortaya çıkan spektral doğrularının şeklinin tanımlanması, birçok mekanizmanın (özellikle çarpışmadan genişlemede) homojen genişleme göstermesinin açıklanması.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Cauchy dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

${\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}$

Burada x₀ dağılımın doruğunu tanımlayan konum parametresi ve γ ise yarı-maksimumda yarı-genişliği tanımlayan ölçek parametresidir.

Lorentziyen fonksiyonun genliği şöyle verilir:

${\text{Genlik (veya yukseklik)}}={\frac {1}{\pi \gamma }}$

Fizikte üç parametreli Lorentziyen fonksiyon çok kere şu türde verilir:

${\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma ,I)&={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={I}\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}$

Burada I doruktaki yüksekliktir.

x₀ = 0 ve γ = 1 olduğu zamanki özel hale standart Cauchy dağılımı adı verilir ve bunun olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

$f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!$

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

$F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$

Cauchy dağılımı için ters yığmalı dağılım fonksiyonu şu olur:

$F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \,\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].$

Özellikleri

Cauchy dağılımı, tanımlanan hiçbir ortalaması, varyansı veya daha yüksek derecede momenti olmayan bir dağılıma örnektir. Mod değeri ve medyan değeri çok kesinlikle tanımlanmıştır ve her ikisi de x₀a eşittirler.

Eğer U ve V iki tane bağımsız 0 beklenen değerli ve 1e eşit varyanslı normal dağılım gösteren rassal değişkenlerse, U/V oranı standart Cauchy dağılımı gösterir.

Eğer X₁, …, X_n her biri bir standart Cauchy dağılımı gösteren bağımsız ama aynı dağılımlı rassal değişkenlerse, örneklem aritmetik ortalaması yani

(X₁ + … + X_n)/n

ifadesi de aynı dağılımı gösterir (Uçsal değerlerden etkilenmeyen örneklem medyanı merkezsel konum ölçüsü olarak kullanılır.) Bunun doğru olduğunu ispatlamak için örneklem ortalamasının karakteristik fonksiyonu şöyle hesaplanabilir:

$\phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!$

Burada ${\overline {X}}$ örneklem ortalamasıdır. Bu örneğin göstermektedir ki merkezsel limit teoremini daha basitleştirmek için kabul edilmesi gereken sonlu varyans hipotezinin bir kenara bırakılması uygun değildir . Bu sonuç, aynı zamanda Cauchy dağılımının özel bir hali olduğu Levy çarpık alfa-durağan dağılımları için de geçerli olan merkezsel limit teoreminin alışılmış olandan daha genelleştirilmiş bir şekline bir örnek sağlamaktadır.

Cauchy dağılımı bir sonsuza kadar bölünebilir olasılık dağılıma örnektir. Ayrıca kesinlikle dengelilik gösteren bir dağılımdır.

Standart Cauchy dağılımı 1 serbestlik derecesi bulunan Student'in t-dağılımı ile aynıdır.

Cauchy dağılımının ait olduğu konum-ölçek ailesi tipte dağılımlara lineer kesirsel dönüşümler altında kapalı olma karakterini taşırlar.

Karakteristik fonksiyon

X Cauchy dağılım gösteren bir rassal değişken olsun. Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon şöyle verilir:

$\phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!$

Neden ortalama tanımlanmaz?

Eğer bir olasılık dağılımı f(x) ile ifade edilen bir olasılık yoğunluk fonksiyonu gösteriyorsa, ortalama veya beklenen değeri şudur:

$\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.\qquad \qquad (1)\!$

Burada sorun bunun şu ifade ile aynı olup olmadığıdır:

$\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}|{x}|f(x)\,dx.\qquad \qquad (2)\!$

Verilen (2) ifadesinin en çok bir terimi sonsuz ise bu iki ifade birbirine aynıdır. Fakat Cauchy dağılımı halinde (2) ifadesi için (sırayla pozitif ve negatif olan) her iki terim de sonsuzdur. Bu demektir ki (2) tanımlanamamaktadır. Ayrıca eğer (1) bir Lebesque integrali olarak kabul edilirse, bu halde (1) de tanımlanamamaktadır; çünkü o zaman (1) ifadesinin (")nin pozitif ve negatif terimleri arasındaki fark olduğu görülür. Buna karşılık (1) ifadesi bir bir Lebesque integrali olacak yerde bir has olmayan integral olarak kabul edilirse, o halde (1)'in mutlaka her zaman iyi-tanımlanma karakteri bulunmayacaktır ama zaten (2) tanımlamamaktadır. O zaman (1) ifadesi şöyle yazılabilir:

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}xf(x)\,dx,\!$

ve bu sıfıra eşit olan Cauchy ana değeridir. Fakat (1) ifadesi değişik şekilde şöyle de yazılabilir:

$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}xf(x)\,dx,\!$

Bu integral hesaplanınca açıkça görülür ki bu sıfır değerde değildir.

Beklenen değer için olasılık kuramında ortaya çıkarılan çeşitli sonuçlar (örneğin güçlü büyük sayılar yasası), beklenen değeri bulunmayan Cauchy dağılımı için uygun olmamaktadır.

Neden ikinci moment sonsuzdur?

Ortalama anlamsız olduğu için bir standart Cauchy dağılımı için varyans veya standart sapma kavramları da anlamsızdır. Ancak ortalama etrafında ikinci momentin ele alınması imkân dahilindedir. Su ifadeye göre

$\mathrm {E} (X^{2})\propto \int _{-\infty }^{\infty }{x^{2} \over 1+x^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over 1+x^{2}}\,dx=\infty -\pi =\infty .\!$

görülmektedir ki Cauchy dağılım için ortalama etrafındaki ikinci moment sonsuzdur.

İlişkili dağılımlar

• İki bağımsız standart normal dağılım gösteren rassal değişkenin birbirine oranı bir standart Cauchy dağılımı gösterir. Cauchy dağılımının bir oran dağılımı olduğu böylece açığa çıkar.
• Standart Cauchy dağılımı, yani Cauchy(0,1) 1 serbestlik derecesi gösteren Student'in t dağılımına eşit olup Student'in t-dağılımının bir özel halidir.
• Levy çarpık alfa-durağan dağılım ile ilişki şöyle verilir: Eğer $X\sim {\textrm {Levy-S}}\alpha {\textrm {S}}(1,0,\gamma ,\mu )$ ise, o halde $X\sim {\textrm {Cauchy}}(\mu ,\gamma ).$ olur.

Relativistik Breit-Wigner dağılımı

Nükleer fizikte ve parçacık fiziğinde, bir rezonansın enerji profili relativistik Breit-Wigner dağılımı ile belirtilir.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Cauchy Distribution (MathWorld)
• [1]5 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. GNU Bilimsel Kütüphanesi - Referans El Kitabı.