Pareto dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Pareto dağılımı birçok pratik uygulaması bulunan ve "küçük" bir nesnenin bir "büyük" nesneye dağılımında kararlılık elde edildiği hallerde kullanılan bir sürekli olasılık dağılımı veya bir güç kuramıdır. İlk olarak bir İtalyan iktisatçısı olan Vilfredo Pareto tarafından ekonomilerde bireylerin servet dağılımını göstermek için kullanılmıştır. İktisat bilim dalı dışında bu dağılım Bradford dağılımı adı altında da bilinmektedir.

Pareto
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Çeşitli k değerleri için Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonları
xm = 1 oldugu halde çeşitli k değerleri için Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonları. Yatay eksen x parametredir. Limitte k → ∞, dağılım δ(x - xm) yaklaşır; burada δ Dirac delta fonksiyonudur.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Çeşitli k değerleri için Pareto yığmalı dağılım fonksiyonları
xm = 1 oldugu halde çeşitli k değerleri icin Pareto yığmalı dağılım fonksiyonları. Yatay eksen x parametredir.
Parametreler ölçek (reel)
shape (reel)
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) {{{OYF}}}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) {{{YDF}}}
Ortalama for
Medyan
Mod
Varyans icin
Çarpıklık icin
Fazladan basıklık icin
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf) tanımlanmaz; ham momentler icin metine bakın
Karakteristik fonksiyon

Uygulama alanlarıDüzenle

Pareto dağılımı iktisat dışında, sosyal bilimler, fen, geofizik, sigortacılık ve birçok gözümlenen doal fonomen incelemeleri için geniş bir alanda uygulanabilimektedir.

  • İktisatta, Wilfredo Pareto'nun ilk defa gösterdiği gibi, herhangi bir ülke veya idarî birim içinde servetin veya gelirin büyük bir kısmının incelenen sosyetenin küçük bir bireyler grubu tarafından sahip olunduğunu bu dağılım çok bariz bir şekilde göstermektedir. Bu öneri biraz daha az bilimsel olarak bazen Pareto prensibi veya 80-20 ilkesi olarak açıklanmakta ve bir ülkenin nüfusunun %20'si, servetin veya gelirin %80'ine sahip olduğu bu şekilde ifade edilmektedir.
  • Tek hisse senedi için standardize edilmiş fiyat getirileri dağılımı.
  • İçinde çok büyük sayıda sözcük bulunan ve bazı sözcükler çok tekrarlanırken diğer sözcüklerin nadir olarak kullanıldığı uzun metinlerde sözcük uzunluğu dağılımı.
  • Değişik dillerde ve ülkelerde insanlara verilmiş olan isimlerin çokluluk dağılımları.
  • TCP protokolunu kullanan İnternet trafiği için dosya büyüklüğü dağılımı.
  • Mutlak sıfır yakınında Bose-Einstein yoğunlaşmaları grupları.
  • Kum parçacıklarının büyüklük dağılımları.
  • Metoritlerin büyüklük dağılımları.
  • Orman yangınlarında yanan alanların yüzölçüm dağılımları.

ÖzelliklerDüzenle

TanınımDüzenle

Eğer X bir Pareto dağılım gösteren rassal değişken ise, Xin olasılığının değerini herhangi bir reel sayı olan xden daha büyük olması, yani tüm xxm için, şu ifade ile verilir:

 

Burada xm mutlaka X için verilen en küçük sayı değeri ve k ise pozitif değerde bir parametredir.

Pareto dağılımları ailesinin tanımlanması için iki tane sayısal parametre gerekmektedir:

  ve  

Pareto dağılımı iktisatda servet veya gelir dağılımı modelinde kullanıldığı zaman k parametresi Pareto endeksi olarak adlandırılır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonuDüzenle

Bu tanınımdan hemen şu Pareto dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu ortaya çıkartılır:

 

Diğer özelliklerDüzenle

 

Eğer k ≤ 1 ise beklenen değer sonsuz olacaktır.

 

Eğer   ise, varyans sonsuzdur.

 

Ancak bu momentler sadece   için anlamlıdır.

 

Burada Γ(a,x) bir tamamalanmamış Gamma fonksiyonu olur.

 
 

Bir karakterizasyon teoremiDüzenle

Bağımsız ve hepsi aynı dağılımlı rassal değiskenler olan Xi, i = 1, 2, 3, ... in k > 0 değerleri için [k, ∞) aralığında desteklenen olasılık dağılımları bulunduğu kabul edilsin. Ayrıca, tüm n değerleri için şu iki rassal değişken olan

min{ X1, ..., Xn } ve :(X1 + ... + Xn)/min{ X1, ..., Xn }

birbirinden bağımsız değişkenler oldukları varsayılsın.

Bu halde her iki değişken de Pareto dağılım gösterir.

Zipf'in yasası ile ilişkiDüzenle

Pareto dağılımı sürekli olasılık dağılımdır. Zipf'in yasası veya diğer adı ile zeta dağılımı sürekli Pareto dağılımının araklıklı dağılım karşılığıdır.

Pareto, Lorenz ve GiniDüzenle

 
Birkaç Pareto dağılımı için Lorenz eğrileri. k = ∞ kusursuzca eşit dağılımı gösterir (G = 0) ve k = 1 doğrusu ise tüm olarak eşitsiz dağılım gösterimidir (G = 1)

Lorenz eğrisi gösterimi çok kere servet veya gelir dağılımını karakterize etmek için kullanılır.[1] Herhangi bir gelir veya servet dağılımı için Lorenz eğrisi L(F) olarak ifade edilip ya bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olan   veya yığımlı dağılım fonksiyonu olan   ile şöyle ifade edilebilir:

 

Burada x(F) yığımlı dağılım fonksiyonunun tersidir.

Şu Pareto dağılımı için

 

Lorenz eğrisi şöyle hesaplanabilir:

 

L(F) ifadesinin paydası x in ortalama değeri olduğu için, k değeri 1'e eşit veya 1den büyük olmalıdır. Birkaç Pareto dağılımı ile ilişkili Lorenz eğrileri yukarıdaki gösterimde görülebilir.

Gini katsayısı Lorenz eğrisi ile dağılımda-eşitlik ifade eden [0,0] ile [1,1] noktalarını bağlayan çapraz doğru arasındaki farkı, yani eşitlikten sapmayı, ölçen bir katsayıdır. Özellikle gösterilmiştir ki, Gini katsaysı, Lorenz eğrisi ile dağılımda-eşitlik doğrusu arasındaki alanın yuzolçümünün iki mislidir.[2].

Bu halde Pareto dağılımı için Gini katsayısı şöyle hesaplanır:

 

Parametre kestirimiDüzenle

Verilmis bir rastgele orneklem veri dizisi olan   için k ve   parametreli Paretoi dagilimi için olabilirlilik fonksiyonu soyle verilir:

 

Böylece logaritmik olabilirlilik fonskiyonu su olur:

 

Bu fonksiyondan gorulmektedir ki   terimi   ile monotonik artis göstermektedir. Yani   değeri ne kadar büyük olursa olabilirlilik fonksiyonun değeri de oylece büyük olacaktır.   olduğu için sonuç olarak

 

cikartılmaktadır.

k için bir kestrimci bulmak için, bunun gerekli kismi turevini almak; yani

 

ve bunun nerede ifira esit olduğunu bulmak gereklidir. Böylece, k için maksimum olabilirlilik kestirimi su olur:

 

Bunun beklenen istatistiksel hatasi soyle ifade edilir:

  [3]

Grafik olarak gösterimDüzenle

Pareto dağılımı için doğrusal ölçek kullanılarak elde edilen gösterimdeki eğrinin genel olarak ortaya çıkartığı uzun kuyruk özelliği, ayni veri dizisi logaritma-logaritma ölçekli bir grafikte gösterilince ortadan kalkmakta ve negatif eğim gösteren bir doğru ortaya çıkmaktadır.

Pareto dağılımı simulasyonuDüzenle

Pareto olasilik dagilimi simulasyonu için birçok komputer istatistik paketinden yardım gorme imkâni su anda bulunmamaktadır. Oysaki Pareto dagilimi özellikle aktureya hesapları için, özellikle portfoy maliyetlerinin hesaplaması için, çok sik olarak kullanılması gerekmektedir ve bu hesaplar için istatistik paketleri özel Pareto dagilimi simulasyonları vermemektedirler.

Diger taraftan istatistik paketlerinin verdikleri bazı özel olasilik dagilimi simulasyonlarını birbirine ekliyerek Pareto dagilimi gösteren rassal değişken simulasyon sonuçları cikartmak zor degildir. Bu surec kolayca basarılması icik yordam soyle verilebilir:

Birinci şekilde bir gamma dagilimi tarafında uretilen bir rastgele orneklem için bulunan λ ile bir ustel dagilimdan rastgele sayılar ortaya cikartilir; yani

 

ve

 

Bu hesaplar 0da başlayan bir rastgele veri serisi uretirler. Bunun üstüne   eklemek gerekir.

Diger bir şekilde simulasyon, ters donusum orneklem alma islemi kullanılarak elde edilir.   birim araklita bulunan surekli tekduze dagilimdan   değişebiliri için rastgele olarak elde edilir. Bu değişebilir için

 

fonksiyonu Pareto-dagilimi gösterir.[4]

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Lorenz,M.O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth." Publications of the American Statistical Association. C.9 say.209–219.
  2. ^ Aabergé,R. (2005) kaynak International Conference to Honor Two Eminent Social Scientists, Mayıs 2005 toplantısında bildiri -- http://www.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Aaberge.pdf
  3. ^ http://aps.arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0412/0412004v3.pdf
  4. ^ "Arşivlenmiş kopya". 23 Mayıs 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Haziran 2008. 

Dış bağlantılarDüzenle