Savitch teoremi

(Savitch Teoremi sayfasından yönlendirildi)

Savitch Teoremi, uzay karmaşıklığını konu edinen ve bu hususta sonuca varan en eski teoremlerden biridir. Belirlenimsiz makinelerin belirlenimli makinelere dönüştürülmesinde, gerekli olan uzay karmaşıklığını incelemiştir ve beklenenden çok daha küçük uzay gereksinimi olduğunu ortaya koymuştur. Daha formal bir ifadeyle, uzay kullanan bir belirlenimsiz Turing makinesi (nondeterministic turing machine ), belirlenimli bir turing makinesine (deterministic turing machine ) dönüştürülürken uzay gerektirir.[1]

TeoremDüzenle

Herhangi bir   fonksiyonu için,   gereksinimi karşılamak koşuluyla,
  dir.

İspat fikriDüzenle

  uzay kullanan bir   simule ederken, akla ilk gelen yol  'nin tüm kollarını tek tek hesaplayarak, işlemi ilerletmektir. Bu yolu kullanırken, işlenen kola ait bilgilerin tutulması gerekmektedir.   uzay kullanan bir kol, en kötü ihtimalle   adımda, hesaplanabilir. Bütün kolların sırayla hesaplanması ise, hepsinin kayıt altında tutulması manasına gelir ki bu   uzay gerektirir. Üssel bir ilişki kuran bu yöntem, Savicth teoreminin iddia ettiği uzaydan çok daha fazla uzay gerektirmiş olur.

Bunun yerine, çözümü yinelemeli bir algoritma olan, yieldability probleminin yöntemi uygulanmıştır.  'i başlangıç,  'yi kabul konfigurasyonu ve t'yi  'nin kullanabileceği maksimum adım sayısı olarak kabul edersek, yieldability probleminin çözümü,  'nin verilen katarı kabul edip etmediğine karar verebilir.

Yieldability problemiDüzenle

Yinelemeli bir algoritima mantığıyla çözülebilecek olan yieldability problemin çözümünde aşağıdaki algoritma kullanılır.
CANYIELD( ) #  başlangıç ve kabul konfigurasyonları,   adım sayısı

  • 1. Eğer   ise   olup olmadığına veya   den   ye tek bir adımda geçip geçmediğine bakılır. Eğer ikisinden birisi doğru ise, kabul ikisi de yanlış ise ret döner
  • 2. Eğer   ise bütün   uzay kullanan ara konfigurasyonlar( ) için:
  • 3. CANYIELD( ) çağır
  • 4. CANYIELD( ) çağır
  • 5. Eğer 3. ve 4. adım kabulse, kabul et
  • 6. Eğer kabul değilse ret dön

İspatDüzenle

  makinesi   uzayda   diline karar veren bir   olsun.   diline karar veren bir belirlenimli     makinesi oluşturalım.   makinesi,   makinesinin herhangi bir konfigurasyonunun belirli adımda çözülüp çözülmediğini test etmek için yukarıda bahsediler CANYIELD algortimasını kullanır.
  katarı   makinesi için bir girdi katarı olsun.  katarı üzerinde   ve   konfigurasyonları için,   makinesi   den   ye   veya daha az adımda geliyorsa, CANYIELD algoritması kabul döner, değilse ret döner.
Şimdi de   makinesini simule eden bir   makinesi oluşturalım:

 ( )

  • 1. CANYIELD(  ,   ,  ) sonucu çıktı olarak döner.


CANYIELD algoritması kendisini yinelemeli olarak çağırdığında, mevcut durumu;   ve   değerlerini tutmak zorunda kalır. Öyleyse her bir yineleme adımında, ekstra   uzay gereklidir. Ayrıca, her bir yineleme adımında,   adım yarıya düştüğünden, toplamda,   uzay gereklidir. O zaman bütün simule için gerekli olan uzay,   olur. Bu da Savitch'in iddia ettiği gibi   uzayda, bir   uzay   bir   e dönüştürülebilir.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Sipser 2006 Introduction to the Theory of Computation, Second

Dış bağlantılarDüzenle