Legendre polinomları

Matematik Terimi

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

 ;

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlamaDüzenle

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

  (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

 

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  

ÇözümüDüzenle

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

 

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

 
 
 

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

   
 
 
 
 
 

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

 

olur. Genellenirse

 

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

 

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

 

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleriDüzenle

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

 [1]

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

 

ve son noktada türev ile veriliyor

 

yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

 

ve

 

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

 

yukardakinden şu görülebilir

 

veya eşdeğeri

 

burada   −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

 

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

 

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

 

Legendre polinomlarının bir toplamı   için ve   için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

 

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

 

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar   ve   var,

Asimptotiklik   birimden yoksun eklentiler için

 

ve birimden büyük eklentiler için

 

burada   ve   Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kaymasıDüzenle

Kayan Legendre polinomları   olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon   (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan   polinomları [0, 1] arasında bulunur:

 

kayan Legendre polinomu için bir

 

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

 

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n  
0 1
1  
2  
3  
4  

Legendre fonksiyonlarıDüzenle

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,  ile ifade edilir.

 

Diferansiyel denklem

 

genel çözümü var

 ,

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonlarıDüzenle

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur.

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle