Kullanıcı:Hknrgl/Complete metric space

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa ,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam (veya Cauchy uzayı) denir.

Sezgisel olarak, bir uzay içinde veya sınırlarında eksik bir nokta yoksa tamdır. Örneğin, rasyonel sayılar kümesi tam değildir, çünkü her ne kadar 'ye yakınsayan rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisi oluşturulabilse de bu nokta uzayda eksiktir(aşağıdaki diğer örneklere bakınız). Aşağıda açıklandığı gibi verilen bir uzayı tamlaştırılmak için "tüm delikleri doldurmak" her zaman mümkündür.

Örnekler

değiştir

Rasyonel sayılar uzayı  , farkın mutlak değeri olarak tanımlanan standart metrik ile tam değildir. Örneğin,   ve   şeklinde verilen dizi gözönüne alınsın. Bu rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisidir, ancak herhangi bir rasyonel bir limite yakınsamaz: Eğer bu dizinin limiti var ve limit   ise , o zaman   eşitliğinden   bulunur ki hiçbir rasyonel sayı bu özelliği taşımaz. Bununla birlikte, aynı dizi gerçek sayıların bir dizisi olarak kabul edilirse   irrasyonel sayısına yakınsar.

Yine mutlak değer metriğiyle   açık aralığı da tam değildir.  ile tanımlanan dizi Cauchy dizisidir, fakat verilen uzayda bir limiti yoktur. Ancak   kapalı aralığı tamdır; örneğin, verilen dizinin bu aralıkta bir limiti vardır ve bu limit sıfırdır.

Reel sayılar uzayı   ve karmaşık sayılar uzayı  (mutlak değer yardımıyla oluşturulan metrikle) tamdır ve bu nedenle Öklit uzaklık metriği ile verilen Öklid uzayı   de tamdır. Buna karşılık, sonsuz boyutlu normlu vektör uzayları tam olabilir de olmayabilir de; tam olanları Banach uzaylarıdır . Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli reel değerli fonksiyonların uzayı   bir Banach uzayıdır ve dolayısıyla supremum normuna göre tam bir metrik uzaydır. Ancak supremum normu   aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı   üzerinde bir norm oluşturmaz, çünkü sınırsız fonksiyonlar içerir. Bunun yerine, kompakt yakınsamanın topolojisi ile,   uzayına bir Fréchet uzayı yapısı verilebilir: bu uzay, üzerindeki topoloji öteleme dönüşümü altında değişmeyen tam bir metrik ile oluşturulabilen lokal konveks bir topolojik vektör uzayıdır.

P -sel sayıların uzayı   , herhangi bir   asal sayısı için tamdır. Bu uzay,  -sel metriğiyle  'yu, tıpkı  'nin  'yu normal metrikle tamamladığı gibi tamamlar.

  keyfi bir küme olmak üzere,   kümesi üzerindeki tüm dizilerinkümesi   tam metrik uzaydır. Gerçekten   ve   dizileri arasındaki uzaklığı;    ile    yi farklı yapan en küçük indis   olmak üzere 1/N,   böyle bir indis yoksa   olarak tanımlanırsa görülebilir. Bu uzay,   ayrık uzayının sayılabilir sayıda kopyasının çarpımı ile homeomorftur . 

Bazı teoremler

değiştir

[[Kategori:Metrik geometri]]