Cauchy dizisi

Cauchy dizisi tanımıDüzenle

  bir dizi olsun. Eğer her   için,

  eşitsizliğinin her   ( ) için sağlandığı bir   göstergeci varsa,   dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremlerDüzenle

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidirDüzenle

İspat:

  yakınsak bir dizi olsun. , herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine   diyelim. Demek ki, öyle bir   doğal sayısı vardır ki, her   için,

  olur. Dolayısıyla,   için,   olur ve kanıt biter  .

Her Cauchy dizisi sınırlıdırDüzenle

İspat:

  bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki  'u,   seçelim.Demek ki, öyle bir   göstergeci vardır ki, her   için,

  olur. Demek ki, her   için,   olur; bir başka deyişle,

  olur.

  ve   diye tanımlayalım.

O zaman, her için,   olur ve ispat biter  .

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dirDüzenle

İspat:

 , bir Cauchy dizisi,   dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.  herhangi bir sayı olsun.Öyle bir   var ki, her   için,   dir.

Eğer   ise   ve   olduğundan,   olur.  .

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsarDüzenle

İspat:

  Cauchy dizisi olsun ve   bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki " " ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

  ve   için   önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz   için   önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

 

2. ifade altdizinin tanımından dolayı  'den küçüktür,

1. ifade ise ,   olduğundan bir Cauchy dizisidir ve   olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

  ve   için  

ve ispat biter  .

Her Cauchy dizisinin  'de bir limiti vardırDüzenle

İspat:   verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

  1.  'nin monoton bir   altdizisi bulunur.
  2.   bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır.[1] Demek ki   altdizisi de sınırlıdır.
  3. Monoton ve sınırlı olduğundan,   dizisi yakınsaktır.[2]
  4.   maddelerden,   dizisinin yakınsak olduğu görülür.[3]

Dolayısıyla,   tamdır ve ispat biter.  .

Formal ispat:

 'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden  'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

 'de bir Cauchy dizisi ve   olsun.

 

 

 

 

 

 

 

 

   

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm 10. teorem (7.10)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  2. ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm Sonuç 4 (7.4)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  3. ^ Analiz I - Ali Nesin,8.bölüm 4. teorem (8.4)http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/4194/mod_resource/content/2/hafta_7.pdf 25 Mart 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

DipnotlarDüzenle

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.