Cisim (cebir)

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır.^[1] Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.^[1]

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi Z bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Cisimlere örnek olarak, rasyonel sayılar kümesi Q, gerçel sayılar kümesi R ve karmaşık sayılar kümesi C verilebilir. Ayrıca, p bir asal sayı olmak üzere, 0'dan p - 1'e kadar olan tam sayıların kümesi de modüler aritmetik aracılığıyla bir cisim oluşturur. Bu cisim genelde Z/pZ sembolüyle gösterilir.

TarihçeDeğiştir

Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almancada "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.

TanımıDeğiştir

F boş olmayan bir küme olsun ve bu kümenin elemanları arasında + ve $\cdot$ ile göstereceğimiz iki tane ikili işlem tanımlanmış olsun. (F, +, $\cdot$ ) üçlüsü aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bu üçlüye cisim adı verilir:

$a,b\in F$ ise, $a+b=b+a\;$ ve $a\cdot b=b\cdot a$ .
$a,b,c\in F$ ise, $a+(b+c)=(a+b)+c\;$ ve $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ .
$a,b,c\in F$ ise, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ .
$F\,$ kümesinde $0\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, her $a\in F$ için $a+0=a\,$ eşitliğini sağlar.
$F\,$ kümesinde $1\,$ adında, öyle bir eleman vardır ki, $0\,$ 'dan farklı her $a\in F$ için $a\cdot 1=a\,$ eşitliğini sağlar.
Her $a\in F$ için, $F\,$ kümesinde $-a\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, $a+(-a)=0\,$ eşitliğini sağlar.
Her $0\neq a\in F$ için, $F\,$ kümesinde $a^{-1}\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, $a\cdot a^{-1}=1\,$ eşitliğini sağlar.