Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir fonksiyonun iken büyümesi, gerçel bir sayı olmak üzere, üstel fonksiyonu ile sınırlanıyorsa, o zaman bu holomorf fonksiyonun üstel tipi 'dir denir.

Holomorf bir fonksiyon bu şekilde bir üstel fonksiyon tarafından kontrol altında tutulduğunda, bu fonksiyonu terimleri başka karmaşık fonksiyonlardan oluşan yakınsak seriler halinde yazabilmek mümkün olmaktadır. Ayrıca, Borel toplamı gibi tekniklerin ne zaman uygulanabileceğini anlamak veya örneğin Mellin dönüşümünü uygulamak, veya Euler-Maclaurin formülü kullanılarak yaklaşıklıklar yapmak mümkün olur. En genel durum, Nachbin teoremi tarafından verilmektedir ki bu teoremde, genel bir fonksiyonuna karşılık tipi tanımlanır.

Tanıma yönelik temel fikir

değiştir

Karmaşık düzlemde   değişkenini   ile temsil edelim ve yine aynı düzlemnde tanımlı bir   fonksiyonunu ele alalım. Eğer   iken,

 

eşitsizliğini sağlayan gerçel bir   and   değerleri varsa, o zaman   fonksiyonuna üstel tipli fonksiyon denir. Burada, dikkat edilmesi gereken, bu eşitsizliğin bütün   değerleri için geçerli olmasıdır; diğer deyişle, fonksiyonun hangi yöne doğru büyümesinin alınması fark etmezsizin, bu büyümenin bir üstel fonksiyon tarafından sınırlandırılması yani kontrol altında tutulması esas fikirdir. Bu tür bir büyümenin sağlandığı en küçük   değerine ya da daha doğru deyişle bu tür   değerlerinin infimumuna, fonksiyonun üstel tipi denir.

Örneğin,   fonksiyonunu göz önüne alalım. Her   için   olduğu için,

 

elde edilir. Aynı zamanda,   için   alınırsa, o zaman fonksiyonun üstel tipinin   olduğu gerçekten görülecektir. Böylece, bu örnek için, Carlson teoremi uygulanamaz; çünkü, bu teoremde, fonksiyonların üstel tipinin  'den kesinlikle az olması varsayılır.

Holomorf bir   fonksiyonu verilmiş olsun. Bir   ve her   için

 

eşitsizliğini   iken sağlayan sabit bir   varsa, o zaman   üstel tipi   olan bir fonksiyondur. Bu durumda,

 

  fonksiyonunun üstel tipidir. Buradaki limsup, verilen bir yarıçaptan büyük yarıçap değerleri için alınan bölümlerin supremumunun yarıçap sonsuza giderken limitidir. Belli bir yarıçap değeri için alınan maksimum bölüm değerlerinin yarıçap sonsuza giderken limit supremum değeri yine buradaki limsup değeridir. Belli bir yarıçap değeri için hesaplanan maksimumların yarıçap sonsuza giderken limiti olmasa bile, daha önce bahsedilen limsup değeri var olabilir. Örneğin,

 

serisini ele alalım ve

 

değerine   iken bakalım. Bu durumda,   terim   terimine baskındır. O hâlde,

 

asimptotik bağlantıları vardır ki bu durumda sağ taraf   sonsuza giderken 0'a gider.[not 1] Ancak,   fonksiyonuna sadece   noktalarında bakmakla fonksiyonun üstel tipinin 1 olduğu görülebilir.

Simetrik ve dışbükey bir cisme göre üstel tip

değiştir

Üstel tipin çok değişkenli karmaşık fonksiyonlar için bir genelleştirmesi Elias Stein tarafından verilmiştir.[1] Diyelim ki   kümesi  nin dışbükey, tıkız ve simetrik olan bir altkümesi olsun.[not 2] Böyle her   için

 

küme eşitliği sağlayan bir   normu vardır. Diğer deyişle,   kümesi,  deki bir   normuna göre birim yuvardır.

 

kümesi ise   kümesinin polar kümesidir.   kümesi de yine  nin dışbükey, tıkız ve simetrik altkümesidir. Dahası,

 

yazılabilir. Öyleyse,   normu  den  ye şu şekilde genişletilebilir:

 

Sonuç olarak,   tane karmaşık değişkeni olan bir   fonksiyonunu ele alalım. Her   için

 

eşitsizliğini bütün   için sağlayacak bir   sayısı varsa, o zaman,   fonksiyonuna   kümesine göre üstel tipli denir.

Fréchet uzayı

değiştir

Üstel tip   olan fonksiyonların uzayı tam bir düzgün uzay oluşturur. Başka bir deyişle, sayılabilir

 

norm ailesi tarafından doğurulan topolojiyle donatıldığında, bu uzay bir Fréchet uzayı olur.

Ayrıca bakınız

değiştir
  1. ^ Hatta,   iken bile,   (  sonsuza giderken) sıfıra gider.</math>
  2. ^ Akademik Bilim Terimleri Sözlüğü'ne göre, Öklid uzayında dışbükey, kapalı ve sınırlı olan bir altkümeye dışbükey cisim 3 Aralık 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. denir.

Kaynakça

değiştir
  1. ^ Stein, E.M. (1957), "Functions of exponential type", Ann. of Math., 2, cilt 65, ss. 582–592, doi:10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342