Borel toplamı

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

TanımDüzenle

 

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve  'nin Borel dönüşümü   aşağıdaki biçimde tanımlansın.

 
  1.  'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
  2.  'nin   gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
  3.  'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı,  'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

GeçmişDüzenle

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

« Borel, o zamanlar tanınmayan bir genç, ürettiği toplam yönteminin klasik ıraksak diziler için 'doğru' sonuçlar verdiğini gördü. Bunun üzerine, zamanın karmaşık çözümleme uzmanı Mittag-Leffler'i görmek için Stockholm'e gitmeye karar verdi. Mittag-Leffler, Borel'i nazik bir biçimde dinledikten sonra elini öğretmeni Weierstrass'ın kitabının üzerine koydu ve ekledi: "Usta buna izin vermiyor".[1] »

UygulamalarDüzenle

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

 

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

 

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Andrianov & Manevitch (2003). Asymptotology: Ideas, Methods, and Applications. Springer. s. 16. ISBN 1402009607.