Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.

Operatörlerin Notasyonu

Gradyan

3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli $f(x,y,z)$ fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;

$grad(f)$ veya $\nabla f$ ile gösterilir.

$\nabla f=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})f=$ ${\partial f \over \partial x}{\widehat {i}}+{\partial f \over \partial y}{\widehat {j}}$ $+{\partial f \over \partial z}{\widehat {k}}$ olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.

Burada ${\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}$ x,y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir $\xi (x_{1},x_{2}...x_{n})$ skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:

$\nabla \xi =({\partial \over \partial x_{1}},{\partial \over \partial x_{2}},...{\partial \over \partial x_{n}}$ $)\xi$ $={\partial \xi \over \partial x_{1}}.{\widehat {e}}_{1}+{\partial \xi \over \partial x_{2}}.{\widehat {e}}_{2}$ $+...+{\partial \xi \over \partial x_{n}}.{\widehat {e}}_{n}.$

$1\times n$ satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör ${\vec {A}}$ $=(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi $n\times n$ Jacobian matrisi ile temsil edilir:

$\nabla {\vec {A}}=J_{\vec {A}}=({\partial A_{i} \over \partial x_{j}})_{ij}$

Genellersek herhangi bir k ranklı bir $A$ tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.

Diverjans

Ana madde:Diverjans

Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir $F$ vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Notasyon olarak;

$div(F)$ veya $\nabla \cdot F$ ile temsil edilir.

$\nabla \cdot F$ $=div(F)=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})\cdot$ $(F_{x},F_{y},F_{z})={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+$ ${\partial F_{z} \over \partial z}$ olarak ifade edilir.

Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir $A$ tensör alanının diverjansı ( $\nabla \cdot A$ ), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.

Rotasyonel

Ana madde;Rotasyonel

Kartezyen koordinat sisteminde bir $F$ vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir. Notasyon olarak;

$rot(F)$ ya da $\nabla \times F$ ile temsil edilir.

$rot(F)=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$ = $\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$ olarak ifade edilir.Burada $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ x,y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.

Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;

$F$ vektör alanının rotasyoneli;

$\nabla \times F$ $=\varepsilon ^{ijk}e_{i}{\partial F_{k} \over \partial x^{j}}$

Burada $\varepsilon$ Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.

Laplasyen

Ana Madde:Laplace Operatörü

Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir $f(x,y,z)$ fonksiyonunun laplasyeni;

$\Delta f=\nabla ^{2}f=(\nabla \cdot \nabla )f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}$ $+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$

Genel anlamda $T$ tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;

$\Delta T=\nabla ^{2}T=(\nabla \cdot \nabla )T$

Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir. Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.

İlk Türev Özdeşlikleri

Notasyon bakımından skaler alanlar için $\phi$ ve $\psi$ vektör alanları için $A$ ve $B$ kullanacağız.

Dağılma Özellikleri

$\nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi$
$\nabla (A+B)=\nabla A+\nabla B$
$\nabla \cdot (A+B)$ $=\nabla \cdot A+\nabla \cdot B$
$\nabla \times (A+B)=\nabla \times A+\nabla \times B$

Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı

Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.

$\nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi$
$\nabla (\psi A)=(\nabla \psi )^{T}A+\psi \nabla A=\nabla \psi \otimes A+\psi \nabla A$
$\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \cdot \mathbf {A} )\ +\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )$
$\nabla \times (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \times \mathbf {A} )\ +\ (\nabla \psi )\times \mathbf {A}$
$\nabla ^{2}(\psi \phi )=\psi \nabla ^{2}\phi +2\nabla \psi \cdot \nabla \phi +\phi \nabla ^{2}\psi$

Skalere bölünürken Bölme Kuralı

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-(\nabla g)f}{g^{2}}}$
$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \cdot \mathbf {A} -(\nabla g)\cdot \mathbf {A} }{g^{2}}}$
$\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \times \mathbf {A} -(\nabla g)\times \mathbf {A} }{g^{2}}}$

İkinci Türev Özdeşlikleri

Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir

Bir $\phi$ vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:

$\nabla \cdot (\nabla \times \phi )=0$

Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir

$\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )$

Diverjansın diverjansı tanımsızdır

$\nabla \cdot (\nabla \cdot \psi )$ =Tanımsız

Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.

Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.

Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir

$\nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0}$

Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır

Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.

$\nabla \times (\nabla \cdot A)$ =Tanımsız

Önemli Özdeşliklerin Özeti

Diferansiyasyon

Gradyan

$\nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi$
$\nabla (\psi \,\phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi$
$\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} +\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} +\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)+\mathbf {B} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

Diverjans

$\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\nabla \cdot \mathbf {B}$
$\nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} \cdot \nabla \psi$
$\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )\,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$

Rotasyonel

$\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \times \mathbf {B}$
$\nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \psi \times \mathbf {A}$
$\nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\,-\,\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\,+\,\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,-\,\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B}$

İkinci Türev

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
$\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}$
$\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi$ (skaler laplasyen)
$\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A}$ (vektör laplasyen)
$\nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi$
$\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)$
$\nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\psi \nabla ^{2}\phi$
$\nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A}$
$\nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times \nabla \times \mathbf {A} )$ (Green vektör özdeşliği)

Üçüncü Türev

$\nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla (\nabla ^{2}\psi )$
$\nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot (\nabla ^{2}\mathbf {A} )$
$\nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times (\nabla ^{2}\mathbf {A} )$

İntegrasyon

'' $\partial$ '' sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.

Yüzey-Hacim İntegralleri

Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde $\partial A$ sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise $\partial A$ sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.

$\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} =\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV$ (Diverjans teoremi)
$\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\psi d\mathbf {S} =\iiint _{V}\nabla \psi \,dV$
$\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\left({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {A} \right)dS=\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)dV$
$\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\psi \left(\nabla \varphi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)dS=\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)dV$ (ilk Green özdeşliği)
$\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\left[\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right]dS=G$
$G=\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,$ $\left[\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right]dS$ $\displaystyle =\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)dV$ (ikinci Green özdeşliği)

Bir eğri üstündeki çizgi integrali

$\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {s}$ (Stokes Teoremi)
$\oint _{\partial S}\psi d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left({\hat {\mathbf {n} }}\times \nabla \psi \right)dS$

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.