Euler teoremi
Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. (Ocak 2019) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin) |
Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu yüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) çokyüzlü denir. Konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Euler Teoremi veya Euler Belirtkeni olarak bilinen bir bağıntı vardır.
Köşe Sayısı + Yüzey Sayısı - Ayrıt Sayısı = 2
Her bir çokyüzlü için sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (İspatı tümevarım ile yapılabilir)
Bu sayı, sınırların aynı sayıdaki bağlantılı parçadan oluşan bütün şekiller için aynıdır (örn. dairenin ya da sekiz şeklinin sınırı bir parçadan, rondelanınki ise iki parçadan oluşur). Bütün basit (yani deliksiz) çokgenler için Euler belirtkeni 1'e eşittir. Bu durum, herhangi bir şekil için üçgenleme işlemi yardımıyla gösterilebilir. Bu işlemde, şekil, köşeleri birleştiren yardımcı doğrular aracılığıyla üçgenlere bölünür. Daha sonra bu üçgenler, dışarıdan içeriye doğru, en son bir üçgen kalıncaya değin, birer birer ortadan kaldırılır; kalan son üçgenin belirtkeninin 1'e eşit olduğu kolaylıkla hesaplanabilir. Bu çizgi ekleme ve çıkarma işlemlerinin, özgün şeklin Euler belirtkenini değiştirmeyeceği açıktır, bu nedenle, özgün şeklin Euler belirtkeninin de 1'e eşit olduğu anlaşılır. Herhangi bir basit üç boyutlu çokyüzlünün Euler belirtkeninin 2'ye eşit olduğu, şeklin bir yüzünü ortadan kaldırıp geri kalan şekli bir düzleme yatırarak Euler belirtkeni 1 olan bir çokgen elde edilmesi yoluyla gösterilebilir, çünkü ortadan kaldırılan yüzün eklenmesiyle Euler belirtkeninin değeri 2'ye yükselecektir.
Delikli şekiller için Euler belirtkeni, deliklerin sayısı kadar azalır, çünkü her delik bir "eksik" (ortadan kaldırılmış) yüz olarak düşünülebilir. Cebirsel topolojide Euler-Poincarè formülü olarak bilinen daha genel bir bağıntı vardır. Bu formülde daha yüksek boyutlu soyut şekillere karşılık gelen terimler ile belirli bir şekil sınıfının şekildeki delik ve bükülme sayılarına bağlı olarak Euler belirtkeninin değerini veren terimler (bunlara Betti sayıları adı verilir) bulunur. Adını İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'den alan Euler belirtkeninden, yalnızca beş çeşit düzgün (bütün yüzleri özdeş olan) çok yüzlü bulunabileceğini kanıtlamakta yararlanılmıştır.
Bazı bilim adamlarına göre, bu bağıntı Descartes'a aittir. Bunu ileri sürmelerinin sebebi de, Descartes'a ait olan bir teoremin doğrudan sonuçlarından birinin de yukarıdaki bağıntı olmasıdır. Ancak bu bağıntıyı ilk kez 1750 yılında açıkça ortaya atan kişi Euler olduğu bilinmektedir. Euler'in amacı, çokyüzlüleri sınıflandırabilmekti. Ancak bunu yapabilmek için sadece yüzlerin sayısı yeterli değildi; ayrıt köşe sayıları da incelenmeliydi. İşte Euler incelemeleri sırasında bu üç sayı arasındaki bağıntıyı keşfetti. Bağıntının kesin ispatı ise ancak 1847 yılında C. von Saudt tarafından yapılabildi.