Elektromanyetik kütle

Elektromanyetik kütle başlangıçta, elektromanyetik alanın ya da öz-enerjinin ne kadar olduğunu gösteren, yüklü parçacıkların kütlesine katkıda bulunan, bir klasik mekanik kavramıydı. İlk defa 1881 yılında J.J. Thomson tarafından elde edildi ve bir süreliğine tek başına eylemsizlik kütlesinin dinamik açıklaması olarak da kabul edildi. Bugün, kütle, momentum, hız ve tüm enerji çeşitlerinin ilişkileri, elektromanyetik enerji de dahil, Albert Einstein'ın özel görelilik ve kütle-enerji eşdeğerliği bazında incelenmektedir. Temel parçacıkların kütle nedeni olarak, göreceli Standart Model çerçevesinde Higgs mekanizması halen kullanılmaktadır. Ayrıca, yüklü parçacıkların elektromanyetik kütle ve iç enerjileri ile ilgili problemler hala araştırılmaktadır.

Serbest kütle ve enerji

Durgun kütle ve enerji 1881 yılında J.J. Thomson tarafından,' Belirli endüktif kapasiteye sahip bir madde (James Clerk Maxwell ' in elektromanyetik etheri ) ile doldurulan boşlukta yüklü bir küreyi hareket ettirmek yüksüz bir küreyi hareket ettirmekten daha zordur.' şeklinde tanımlandı. (Hidrodinamik ile ilgili benzer söylemler, mükemmel sıkışmayan sıvıda eylemsizlik momentinin arttığını gösteren George Gabriel Stokes tarafından 1843 yılında zaten yapılmıştı.) Böylece bu özindüklenme etkisi nedeniyle elektrostatik enerji momentum kaynağı gibi ve cisimlerin sıradan mekanik kütlelerini arttırabilen 'görünür' elektromanyetik kütleye sahipmiş gibi davranır. Bu fikir üzerinde Oliver Heaviside (1889), Thomson (1893), George Frederick Charles Searle (1897), Max Abraham (1902), Hendrik Lorentz (1892, 1904) tarafından daha detaylı bir şekilde çalışıldı ve doğrudan Abraham-Lorentz kuvveti kullanılarak elektron üzerine uygulandı. Şu an, elektronun durgun elektrostatik enerjisi $E_{em}$ ve durgun kütlesi $m_{em}$ şu şekilde hesaplandı :

$E_{em}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{a}},\qquad m_{em}={\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{ac^{2}}}$

Burada $e$ homojen dağılımlı yükü, $a$ klasik elektron yarıçapı nı göstermektedir. Bu yarıçap sonsuz enerji birikiminden kaçınmak için sıfırdan farklı bir değer olmak zorundadır. Dolayısıyla elektromanyetik enerji-kütle ilişkisini içeren formül :

$m_{em}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}$

Maddenin elektrik merkezli olduğu önerisi tartışıldı. Bu yüzden Wilhelm Wien (1900) ve Max Abraham (1902) maddelerin toplam kütlesinin ve elektromanyetik kütlesinin aynı olduğu kararına vardılar. Wien, eğer yerçekiminin de elektromanyetik etkisinin çok olduğu varsayılırsa, elektromanyetik enerji, atalet kütle ve yerçekimi kütlesi arasında bir orantı olması gerektiğini belirtti. Bir madde diğer bir maddeyi çektiği zaman, Wien'e göre yerçekiminin elektromanyetik enerji kaynağı şu miktarda azalış gösterecektir : ($M$ çekilen kütlenin ağırlığı, $G$ yerçekimi sabiti, $r$ uzaklık.)

$G{\frac {{\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}M}{r}}$

1906 yılında Henrie Poincaré, kütlenin aslında eter içindeki elektromanyetik alanının bir ürünü olduğu zaman- hiçbir gerçek kütlenin olmadığını ima ediliyor- ve madde kütle ile ayrılmaz bir biçimde bağlantılı olduğu için, madde de tamamıyla var olmaz ve sadece ether içindeki çukurlar olarak elektronlar var olur.

Kütle ve hız

Thomson and Searle

Thomson (1893) yüklü maddelerin elektromanyetik momentum ve enerjilerini ve bunun sonucunda onların kütlelerinin aynı zamanda maddelerin hızına bağlı olduğunu da fark etti. Ve şunları yazdı :

"Limit hız v=c olduğu zaman, kütledeki artış sonsuz olur. Böylece ışık hızında hareket eden yüklü parçacık kütlesi sonsuzmuş gibi davranır. Bu yüzden hız sabit kalacaktır. Başka bir deyişle , dielektrik vasıtasıyla ışık ötesinde hareket eden yüklü bir parçacığın hızını arttırmak imkansızdır."

1897 yılında Searle hareket halindeki yüklü kürenin elektromanyetik enerjisi için daha kesin formüller verdi :

$E_{em}^{v}=E_{em}\left[{\frac {1}{\beta }}\ln {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right],\qquad \beta ={\frac {v}{c}},$

ve Thomson gibi o da şu sonuca vardı :

"... v=c olduğu zaman enerji sonsuz olmaya başlar. Böylece görülür ki yüklü bir parçacığı ışık hızından daha hızlı bir harekete ulaştırmak mümkün değildir."

Boyuna ve enine kütle

Abraham-Lorentz-Bucherer

Searle'nin formülünden, Walter Kaufmann(1901) ve Abraham (1902) hareketli cismin elektromanyetik kütlesi için bir formül türettiler :

$m_{L}={\frac {3}{4}}\cdot m_{em}\cdot {\frac {1}{\beta ^{2}}}\left[-{\frac {1}{\beta ^{2}}}\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)+{\frac {2}{1-\beta ^{2}}}\right]$

Fakat, Abraham(1902) bu değerin sadece boylamasına(boyuna kütle) için geçerli olduğunu gösterdi, yani elektromanyetik kütle ether açısıyla beraber aynı zamanda hareket eden cismin yönüne de bağlıdır. Böylece Abraham enine kütle yi de türetti :

$m_{T}={\frac {3}{4}}\cdot m_{em}\cdot {\frac {1}{\beta ^{2}}}\left[\left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right]$

Diğer yandan, 1899 yılında Lorentz zaten elektronların hareket süresince uzunluk büzülmesine maruz kaldıklarını farz etti. Lorentz $k={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ formülünde $k^{3}\varepsilon$ değişkeninin hareket yönüne paralel olduğunu ve $k\varepsilon$ değişkeninin ise hareket yönüne dik olduğunu elde etti. $\varepsilon$ ise belirsiz değişken. Lorentz 1899 yılındaki düşüncelerini 1904 yılında $\varepsilon$ değişkenini belirlediği ünlü kağıtları ile yaydı. Böylece :

$m_{L}={\frac {m_{em}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{em}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

Sonuç olarak Lorentz, Thomson 'un 1893 yılındaki sonucuyla aynı sonuca vardı : hiçbir madde ışık hızına ulaşamaz çünkü bu hızda kütle sonsuz büyüklüğe ulaşıyor. Ayrıca, üçüncü elektron modeli Alfred Bucherer ve Paul Langevin tarafından geliştirildi. Bu modele göre, elektron hareket çizgisinde büzülüyor ve dik olarak genişliyor, böylece hacim sabit kalıyor :

$m_{L}={\frac {m_{em}\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{8/3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{em}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{2/3}}}$

Kaufman deneyleri

Walter Kauffman (1901) deneyleri Abraham ve Lorentz teorilerini destekler nitelikteydi. Ama deneyler onların arasından fark edilmek için yeterince kesin değildi. 1905 yılında Kauffman, Abraham ve Bucherer ' ın tahminlerini tasdikleyen başka deneyler (Kauffman- Bucherer - Neumann Deneyleri ) gerçekleştirdi. Ama bu sefer de deneyler Lorentz teorileri ve Lorentz ve Einstein 'in temel varsayımları, yani görelilik prensibi, ile çelişti. İlerleyen yıllarda Alfred Bucherer (1908), Gunther Neumann(1914) deneylerinin Lorentz'in kütle formülünü destekler nitelikte olduğu görüldü. Daha sonra Bucherer-Neumann deneylerinin de diğer teorilere göre yeterince kesin olmadığı görüldü.

Poincaré Sanıları ve 4/3 problemi

Maddenin elektromanyetik doğası fikrinden vazgeçilmek zorundaydı. Abraham (1904,1905) elektromanyetik olmayan kuvvetlerin Lorentz'in patlamadan kaynaklanan kasılmış elektronlarını engellemesi gerektiğini savundu. Abraham ayrıca, boylamsal elektromanyetik kütlenin Lorentz teoremleri ile elde edilebiliyor olması gerektiğine dair farklı sonuçlar gösterdi, kütlenin enerjisinden ya da momentumundan hesaplanıp hesaplanmadığına bağlı olarak. Bu yüzden elektromanyetik olmayan potansiyel (elektronun elektromanyetik enerjisinin 1/3 üne denk) bu kütleleri eşit vermek zorundaydı. Abraham tüm özellikleri sağlayan bir modelin geliştirilip geliştirilemeyeceğini merak etti.

Bu problemlerin çözümü Henri Poincaré 1905 ve 1906 yılında bazı elektromanyetik olmayan doğanın basınç kaynaklarını (Poincaré Sanısı) tanıttı. Abraham' a göre, bu sanılar elektronlara toplam enerjinin 1/4 ya da elektromanyetik enerjinin 1/3 tutarında elektromanyetik olmayan enerji sağlar. Böylece Poincaré sanıları boyuna elektromanyetik kütle üretmedeki çelişkileri ortadan kaldırır, elektronları patlamadan korur, Lorentz dönüşümlerinde değişmezdir (yani Lorentz sabitleridir.) ve ayrıca uzunluk büzülmesinin bir açıklaması olarak da düşünüldü. Fakat Poincaré hala cisimlerin kütlelerinin sadece elektromanyetik enerji içerdiğini varsayıyordu.

Daha sonra, durgun elektromanyetik kütle değişkenindeki problem yukarıda verildiği gibi $m_{em}=(4/3)E_{em}/c^{2}$ şeklindedir. Fakat bu formül elektronların elektrostatik enerjilerinden türetildiği zaman, 4/3 sabiti olmadan $m_{es}=E_{em}/c^{2}$ formülünü elde ediyoruz. Bu problem, $E_{em}$ ye Poincaré sanılarının elektromanyetik olmayan enerjisi $E_{p}$ eklenerek çözülebilir. Bu durumda elektronun toplam enerjisi $E_{tot}$ :

${\frac {E_{tot}}{c^{2}}}={\frac {E_{em}+E_{p}}{c^{2}}}={\frac {E_{em}+{\frac {E_{em}}{3}}}{c^{2}}}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}={\frac {4}{3}}m_{es}=m_{em}$

Böylece kütle elektromanyetik enerji ile ilişkili olduğunda kayıp 4/3 etmeni geri getirilir, toplam enerji dikkate alındığında ise kaybolur.

Enerji ve radyasyon ataleti paradoksu

Radyasyon Basıncı

Elektromanyetik kütle kaynağı türetmenin bir başka yolu, radyasyon basıncı kavramına dayalıdır. Elektromanyetik alandaki bu basınçlar ya da gerginlikler James Clerk Maxwell (1874) ve Adolfo Bartoli (1876) tarafından keşfedildi. Lorentz 1895 yılında bu gerginliklerin, onun sabit ether kuramında da ortaya çıktığını fark etti. Böylece, eğer etherin elektromanyetik alanı hareket halindeki cisimleri etkileyebilirse, etki/tepki prensibi gereğince maddenin de ethere tepki göstermesi zorunludur. Fakat Lorentz, etherdeki her bir gerilmenin ether parçalarının hareketliliğini gerektirdiğini işaret etti. Ki bu durum onun etherin hareketsizliği kuramına göre imkânsızdı. Lorentz bunun reaksiyon ilkesinin ihlali anlamına geldiğini bilinçli bir şekilde kabul etti. Onlar sadece elektrodinamik etkileşimlerin açıklamasını kolaylaştırmak için Lorentz'in teorisindeki matematiksel modeller olduğundan beri, hayali gerginlikler ile ilgili konuşabilen tek kişi Lorentz 'di.

Hayali elektromanyetik akışkanların kütlesi

1900 yılında Poincaré, etki/tepki prensibi ve Lorentz teorisi arasındaki çelişki üzerinde çalıştı. Poincaré elektromanyetik alanlar ve radyasyon söz konusu olduğunda, kütle merkezi nin hala düzgün bir hızda hareket edip etmediğini saptamayı denedi. O, etki/tepki prensibinin madde tek başınayken işlemediğini, fakat elektromanyetik alanın kendi momentumuna sahip olduğunu fark etti. Poincaré, elektromanyetik alan enerjisinin, $E_{em}/c^{2}$ (başka bir deyişle $m_{em}=E_{em}/c^{2}$ ) kütle yoğunluğuna sahip bir hayali sıvı gibi davrandığı sonucuna vardı. Şimdi, eğer kütle merkezi çerçevesi (COM-frame) hem maddenin kütlesi hem de hayali sıvının kütlesi tarafından tanımlanırsa ve eğer hayali sıvı bozulamaz olursa - oluşturulamaz ya da yok edilemez-, kütle merkezi çerçevesinin hızı aynı kalır.

Fakat bu elektromanyetik alan bozulamaz değildir. Çünkü madde tarafından absorbe edilebilir. Dolayısıyla kütle merkezi prensibi tekrar ihlal edilirdi. Daha sonra Einstein bunun kolay çözümünün, elektromanyetik sıvının kütlesinin, soğurma sürecinde maddeye aktarıldığını varsaymak olacağını söyledi. Fakat Poincaré başka bir çözüm türetti. O, uzayın her noktasında elektromanyetik olmayan hareketsiz enerji alanlarının olduğunu ve enerjileriyle orantılı bir kütleye sahip olduklarını varsaydı. Elektromanyetik sıvı zarar gördüğünde ya da absorbe edildiğinde, elektromanyetik enerji ve kütle hareketli kütle tarafından taşınamaz. Fakat elektromanyetik olmayan sıvının içine aktarılır ve bu sıvı tamamen aynı yerinde kalır. (Poincaré ayrıca kimsenin bu varsayımlara çok şaşırmaması gerektiğini, onların sadece matematiksel kurgular olduğunu ekledi.). Bu yolla, kütle merkezi hareketi, madde dahil, hayali elektromanyetik sıvı ve hayali elektromanyetik olmayan sıvı en azından teorik olarak aynı formda kalır. Emisyon/emilim süreci pratik olarak göz önüne alındığında, sadece madde ve elektromanyetik enerji deney ile doğrudan gözle görülebilir olduğundan Poincaré çözümü hala kütle merkezi teoremini ihlal ediyor. Çerçeveler değiştirildiği zaman bu bir paradoksa yol açar : Eğer dalgalar belli bir yönde yayımlandırılırsa, cihaz hayali sıvının momentumundan dolayı bir geri tepmeye maruz kalacaktır. Daha sonra Poincaré, hareketli kaynağa Lorentz dönüşümünü uyguladı. Enerjinin her iki çerçevede de korunduğunu, fakat momentumun korunmadığını not etti. Bu durum devamlı harekete izin verirdi. Doğanın kanunları referans çerçevesine göre farklılık gösterirdi ve görelilik prensibi işlemezdi. Bu yüzden o, bu durumda da etherin içinde bir dengeleme mekanizması olmak zorunda olduğunu ileri sürdü.

Poincaré 1904 yılında, bu konu ile ilgili tekrar gündeme geldi. Busefer kendi ' Ether içindeki hareketler madddenin hareketini dengeleyebilir ' görüşünü reddetti. Çünkü böyle bir hareket gözlemlenemez ve bu yüzden bilimsel olarak değersizdir. Ayrıca enerjinin kütle taşıdığını yukarıda belittiği geri tepmeyi fikrini de terk etti :

Cihazlar sanki öngürülmüş bir enerji topu gibi geri tepecek, ki bu Newton ilkesine aykırı bir durum. Bizim şu anki atılan cismimiz bir kütleye sahip değil, bir madde değil, bir enerji.

Momentum ve siyah cisim ışınımı radyasyonu

Fakat Max Abraham elektromanyetik momentum terimini tanıttığı zaman, her cm³ için $E_{em}/c^{2}$ ve her cm² için $E_{em}/c$ alan yoğunluğuna sahip olan, Poincaré'in radyasyon ile ilgili momentum ve kütle fikirleri verimli olduğunu kanıtlandı. Momentumu hayali bir güç olarak kabul eden Lorentz ve Poincaré'in aksine Abraham, momentumun gerçek bir fiziksel varlık olduğunu bu yüzden de momentum korunumunun kesin olduğunu öne sürdü.

1904 yılında Friedrich Hasenöhrl hareketli bir kavite(çukur) un dinamiklerini inceleyerek eylemsizliği ve radyasyonu ilişkilendirdi. Hasenöhrl, cismin kütlesinin bir bölümünün (görünür kütle olarak isimlendirdiği) çukur etrafında hareketli bir radyasyon olarak düşünülebilir olduğunu önerdi. Radyasyonun görünür kütlesi sıcaklığa bağlıdır (çünkü her sıcak cisim radyasyon yayar) ve enerjisi ile doğru orantılıdır. Ayrıca Hasenöhrl $m=(8/3)E/c^{2}$ formülünü ilk sonuçlandıran kişidir. Fakat 1905 yılında Hasenöhrl, Abraham'ın ona yazdığı bir mektubun özetini yayınladı. Abraham, Hasenöhrl'ün radyasyonun görünür kütlesi formülünün doğru olmadığı sonucuna varmıştı. Abraham, onun tanımına dayanarak elektromanyetik momentum ve boyuna elektromanyetik kütle tanımını $m=(4/3)E/c^{2}$ olarak değiştirdi -aynı değer duran cismin elektromanyetik kütlesi için de geçerli-. Hasenöhrl kendi formülünü tekrar hesapladı ve Abraham'ın sonuçlarını doğruladı. Ayrıca, görünür kütle ve elektromanyetik kütle arasındaki benzerliği de fark etti. Fakat Hasenöhrl, bu enerji-görünür kütle ilişkisinin sadece cisim ışıma yaparken geçerli olduğunu belirtti.-yani cismin sıcaklığının 0 K' den büyük olduğu durumlarda.

Modern görünüm

Kütle-enerji eşitliği

1905 yılında Albert Einstein, özel görelilik ilkesine dayalı olarak enerjinin her türlü formunun (sadece elektromanyetik değil) cisimlerin kütlesine katkıda bulunması gerektiğini bulduğu zaman, kütle, enerji, momentum ve hız arasındaki ilişki prensibinin, sadece maddenin dinamik etkileşimleri temelinde kabul edilebilirliği fikri kaldırıldı. Yani, bir cismin tüm kütlesi $E=mc^{2}$ enerji içeriğinin bir ölçüsüdür. Einstein'ın düşünceleri maddenin yapısı hakkındaki varsayımlardan bağımsızdı. Bu denklik ile Poincaré'in radyasyon paradoksu dengeleme kuvvetler i kullanmadan çözülebilir. Çünkü maddenin kendi kütlesi (elektromanyetik olmayan ether sıvısı Poincaré tarafından öne sürülmedi.) emisyon/absorpsiyon sürecindeki elektromanyetik enerji kütlesi tarafından azaltılır ya da arttırılır. Bir de, kütleçekimin elektromanyetik açıklaması fikri, geliştirilme sürecinde kaldırıldı.

Sonuç olarak, bir cismin kütlesi ile ilgili her teori baştan relativistik bir şekilde formüle edilmelidir. Örnek bir durum olarak, Standart model çerçevesinde temel parçacıkların kütlesinin geçerli kuantum alan açıklaması, Higss mekanizması, verilebilir. Bu yüzden, kütlenin herhangi bir formuna elektromanyetik alanlarla olan etkileşimin sebep olduğu fikri artık geçerli değildir.

Relativistik (Göreli) kütle

Boylamsal ve enlemsel kütle kavramları (Lorentz eşitliklerinden) Einstein tarafından, onun ilk görelilik ile ilgili ilk makalelerinde de kullanılmıştır. Ama, özel görelilik teoreminde kütlenin sadece elektromanyetik kısmını değil tüm kütleyi içeriyordu. Daha sonra, Richard Chace Tolman gibi fizikçiler kütleyi, kuvvet ve ivmenin oranı olarak ifade etmenin avantajlı olmadığını gösterdi. Bu yüzden, benzer bir kavram yönden bağımsız, ${\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t$ şeklinde tanımlanan kuvvet, göreli kütle olarak kullanılmıştır.

$M={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad m_{0}={\frac {E}{c^{2}}},$

Şu an kütle ifadesi birçok kişi tarafından değişmez kütle olarak kabul edilmesine rağmen, bu kavram modern fizik kitaplarında hala kullanılmaktadır.

İç enerji

Elektromanyetik iç-enerji ya da yüklü parçacıkların iç-gücü özel bir durum olarak ele alındığında, modern metinlerde de etkin elektromanyetik kütlenin bazı çeşitleri tanıtıldı.-her bir kütlenin açıklaması olarak değil, cisimlerin normal kütlelerine ek olarak. Abraham-Lorentz kuvvetinin birçok farklı formülasyonları elde edilmiştir. Örneğin, 4/3 problemi ve başka problemler ile başa çıkmak için bu kavram ortaya çıktı. Bu gibi problemler Renormalizasyon ile ilgili olarak ve kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi temelinde tartışılır.- fiziksel nokta benzeri olarak dikkate alındığında uygulanması gerekir. Klasik etki alanı perspektifinde, klasik kavramlar tekrar devreye girer. Elektromanyetik iç-kuvvetin kesin türetimi, cismin kütlesine katkıda bulunması da dahil, 2009 yılında Gralla ve arkadaşları tarafından yayımlandı.

4/3 problemi

1911 yılında Max von Laue de, özel göreli dinamiklerinin geliştirilmesinde Abraham-Lorentz hareket eşitliklerini kullandı. Buyüzden yüklü bir kürenin elektromanyetik kütlesi hesaplandığı zaman, özel görelilik içinde 4/3 sabiti de mevcuttur. Bu durum kütle-enerji eşitliği (4/3 sabiti olmadan $m_{em}=E_{em}/c^{2}$ ilişkisi ) ile çelişmektedir. Başka bir deyişle, 4/3 sabiti mevcutken, dört boyutlu momentum dört boyutlu vektör gibi düzgün bir dönüşüm olmaz. Laue, Poincaré' in elektromanyetik olmayan potansiyel tanımına (Poincaré sanılarına) eşdeğer bir çözüm buldu. Fakat Laue bunu, daha derin, relativistik anlamda çalışan ve gelişen Hermann Minkowski uzay-zaman biçiminde gösterdi. Laue'in bu gösterimi ek bileşenler ve uzamsal genişletilmiş sistemlerin dört boyutlu vektörler gibi kararlı ya da kapalı sistemler (hem elektromanyetik hem elektromanyetik olmayan enerjilerin kombin edildiği sistemler) den oluşturulmasını sağlayan kuvvetleri gerektiriyor. Yani, kapalı sistem $m_{tot}=E_{tot}/c^{2}$ formülünün toplam durgun kütle ve enerjisine sahipken, 4/3 faktörü sadece elektromanyetik kütle ile ilgili olarak ortaya çıkar.

Enrico Fermi (1922), Paul Dirac (1938), Fritz Rohrlich (1960) ve Julian Schwinger (1983) gibi, elektronun kararlılığı ve 4/3 probleminin iki farklı şey olduğuna dikkat çeken yazarlar tarafından başka bir çözüm bulundu. Dört boyutlu momentumun önceki tanımlarının kendi başına relativistik olmadıklarını gösterdiler ve relativistik tanımı değiştirdiler. Elektromanyetik kütle basitçe $m_{em}=E_{em}/c^{2}$ şeklinde yazılabilir ve böylece 4/3 faktörü hiç görünmez. Böylece sistemin her kısmı, sadece kapalı sistemler değil, dört boyutlu vektörler gibi düzgün biçimde dönüştürülür. Ama Poincaré sanıları gibi bağlayıcı kuvvetler hala Coulomb itme kuvvetinin patlamasından kaynaklanan elektronları önlemesi gerekli. Fakat Fermi–Rohrlich tanımına dayanarak söylenebilirki ; bu sadece dinamik bir sorundur ve dönüşüm özellikleriyle ilgisi yoktur.