Doğrusal denklem

Doğrusal ya da lineer denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir $x$ ve $y$ değişkeni içeren aşağıdaki formdur:

$y=mx+b.\,$

Burada, $m$ sabiti doğrunun eğimini belirler; $b$ sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani $m$ sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken $b$ sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur). Aynı terimde iki değişken barındıran ( $xy$ ) ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler ( $x^{2}$ ) doğrusal değildir.

İki boyutlu doğrusal denklemler

Aşağıdak formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 8 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir. Burada büyük harfler sabitlerin $x$ ve $y$ 'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır.

Genel form

Ax+By+C=0,\,

Hem A hem B'nin sıfıra eşit olmadığı durumlarda denklem genelde A ≥ 0 olacak şekilde yazılır. Denklemin kartezyen koordinat sistemi bir doğru belirtir. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri -C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri -C/B olan bir b noktasında keser. -A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.

Standart form

Ax+By=C,\,

A ve B sıfır olmadıkça A, B ve C en büyük ortak çarpanı 1 olan tam sayılardan seçilir. Genelde A ≥ 0'dır. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri C/B olan bir b noktasında keser. A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.

Eğim-kesim noktası formu

y=mx+b,\,

m eğimi ve b de y eksenini kesim noktasını gösterir. Çünkü $x=0$ olduğunda $y=b$ olur.

Nokta-eğim formu

y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1}),

m eğimi ve tek noktası (x₁,y₁) bilinen doğrunun denklemidir.

Kesim noktası formu

{\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1.

E ve F sıfırdan farklı olmalıdır. Doğru ve x ekseninin kesiştiği nokta (x ekseninin kesim noktası) E ve y ekseninin kesim noktası F'dir. A = 1/E, B = 1/F ve C = 1 alınarak kolaylıkla standart forma dönüştürülebilir.

İki nokta formu

y-k={\frac {q-k}{p-h}}(x-h),

İki noktası bilinen (h,k)(p,q) doğrunun denklemidir. Eğim m = (q−k) / (p−h)'dir.

Parametrik form

x=Tt+U\,

ve

y=Vt+W.\,

olsun

şeklinde iki denklemdir. eğim m = V / T, x-kesim noktası a=(VU−WT) / V ve y-kesim noktası b=(WT−VU) / T

Normal form

y\sin \phi +x\cos \phi -p=0,\,

12

φ normalin eğim açısı ve p de normalin uzunluğudur. Normal doğru ve başlangıç noktası (orijin) arasında doğruya dik olacak en kısa doğru parçasıdır. Tüm katsayılar by ${\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ 'a bölünerek ve eğer C > 0'sa tüm katsayılar -1'le çarpılarak (böylece son katsayı negatif olur) rahatça bulunabilir. Alman Matematikçi Ludwig Otto Hesse'nin anısına bu form ayrıca Hesse standart formu olarak da anılır.

Bazen denklemlerde sadeleştirme işlemlerinden sonra eşitsizlik söz konusu olabilir, 1 = 0 gibi. Bu gibi eşitsizlikler tutarsız eşitsizliklerdir, yani hiçbir x ve y değeri için doğru değildir. 3x + 2 = 3x − 5 buna örnek olabilir.

Birden fazla doğrusal denklemin olduğu durumlar doğrusal denklem sistemi olarak adlandırılır.

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur. Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır.

Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

f(x+y)=f(x)+f(y)\,

ve

f(ax)=af(x),\,

Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.

Burada, a₁, a₂, …, a_n katsayılar, x₁, x₂, …, x_n değişkenlerdir ve b de sabittir. Üç değişkenli denklemlerde genelde x₁ yerine sadece x, x₂ sadece y ve x₃ yerine z kullanılır.

Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir.