Deltoid eğrisi

Geometride, triküspoid eğri veya Steiner eğrisi olarak da bilinen deltoid eğri, üç çentikten oluşan bir hiposikloiddir. Başka bir deyişle, bir çemberin çevresi üzerindeki bir noktanın, yarıçapının üç veya bir buçuk katı olan bir çemberin içinde kaymadan yuvarlanırken oluşturduğu yuvarlanma eğrisidir. Adını, benzediği büyük Yunanca delta (Δ) harfinden alır.

                     Sabit dış çember                      Yuvarlanan çember (dış çemberin yarıçapının 1/3'ü)                      Yuvarlanan çember üzerinde çevresel bir noktanın izlenmesi ile oluşan deltoid eğri

Daha geniş anlamda, bir "deltoid", dışa doğru içbükey olan eğrilerle bağlanmış üç köşesi olan ve iç noktaları dışbükey küme olmayan herhangi bir kapalı şekle atıfta bulunabilir.

Denklemler

Bir hiposikloid (döndürme ve ötelemeye kadar) aşağıdaki parametrik denklemler ile temsil edilebilir:

$x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,$

$y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,$

burada a yuvarlanan çemberin yarıçapı, b söz konusu çemberin içinde yuvarlandığı çemberin yarıçapı ve t sıfır ile 6π arasında değişir. (Yukarıdaki çizimde b = 3a deltoidi izliyor).

Karmaşık koordinatlarda bu şu hale gelir;

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$.

Kartezyen denklemi vermek için t değişkeni bu denklemlerden çıkarılabilir;

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,$

dolayısıyla deltoid dördüncü dereceden bir düzlem cebirsel eğridir. Kutupsal koordinatlarda bu şöyle olur:

$r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.$

Eğrinin $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$'e karşılık gelen üç tekilliği vardır. Yukarıdaki parametrelendirme eğrinin rasyonel olduğunu ve genusun sıfır olduğunu ima eder.

Bir doğru parçası her bir ucu deltoid üzerinde olacak şekilde kayabilir ve deltoide teğet kalabilir. Teğetlik noktası deltoidin etrafını iki kez dolaşırken her bir uç deltoidin etrafını bir kez dolaşır.

Deltoidin eşiz eğrisi şöyledir:

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,$

ve orijinde bir çift noktası vardır, bu nokta y ↦ iy hayali dönüşü ile çizim için görünür hale getirilebilir, bu da

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,$

eğrisini gerçek düzlemin orijininde bir çift nokta ile verir.

Alan ve çevre

Deltoidin alanı $2\pi a^{2}$'dir, burada yine a yuvarlanan dairenin yarıçapıdır; dolayısıyla deltoidin alanı yuvarlanan dairenin iki katıdır.

Deltoidin çevresi (toplam yay uzunluğu) 16a'dır.

Tarihçe

Sıradan sikloidler Galileo Galilei ve Marin Mersenne tarafından 1599 gibi erken bir tarihte incelenmiştir ancak sikloidal eğriler ilk olarak 1674 yılında Ole Rømer tarafından dişli dişleri için en iyi biçim üzerinde çalışırken düşünülmüştür. Leonhard Euler gerçek deltoidin ilk kez 1745 yılında optik bir problemle bağlantılı olarak ele alındığını iddia etmektedir.

Uygulamalar

Deltoidler matematiğin çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin:

• Üçüncü dereceden ünistokastik matrislerin karmaşık özdeğerlerinin kümesi bir deltoid oluşturur.
• Üçüncü mertebeden ünistokastik matrisler kümesinin bir kesiti bir deltoid oluşturur.
• Gruba ait birimcil matrislerin olası izlerinin kümesi. SU(3) bir deltoid oluşturur.
• İki deltoidin kesişimi, altı mertebeden bir kompleks Hadamard matrisleri ailesini parametrize eder.
• Verilen üçgenin tüm Simson doğrularının kümesi, bir deltoid şeklinde bir zarf oluşturur. Bu, 1856'da eğrinin şeklini ve simetrisini tanımlayan Jakob Steiner'den sonra Steiner deltoidi veya Steiner'in hiposikloidi olarak bilinir.
• Bir üçgenin alan ortaylarının zarfı, köşeleri kenarortayların orta noktalarında olan bir deltoiddir (yukarıda tanımlanan daha geniş anlamda). Deltoidin kenarları, üçgenin kenarlarına asimptotik olan hiperbol yaylarıdır.
• Bir deltoid, Kakeya iğne problemine bir çözüm olarak önerilmiştir.

Ayrıca bakınız

• Astroid, dört tepe noktası olan bir eğri
• Dairesel boynuz üçgen, dairesel yaylardan oluşan üç köşeli bir eğri
• İdeal üçgen, hiperbolik çizgilerden oluşan üç köşeli bir eğri
• Sözde üçgen (İngilizce: Pseudotriangle), üç teğet dışbükey küme arasında üç köşeli bir bölge
• Tusi çifti, iki köşeli bir rulet
• Uçurtma, deltoid olarak da adlandırılır

Kaynakça

• E. H. Lockwood (1961). "Chapter 8: The Deltoid". A Book of Curves. Cambridge University Press. 
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. ss. 131-134. ISBN 0-486-60288-5. 
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. ss. 52. ISBN 0-14-011813-6. 
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Deltoid" at MathCurve
• Sokolov, D.D. (2001), "Steiner curve", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104