De Gua teoremi

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

$O$ köşesinde bir dik açıya sahip dört yüzlü

Açıklama

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

$A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$

Genellemeler

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı n-simpleks (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

U, $\mathbb {R} ^{n}$'nin ($k\leq n$ olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ alt kümesi için, $U_{I}$ U'nun $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$ doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ ve $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

${\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),$

burada ${\mbox{vol}}_{k}(U)$ U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan $\mathbb {R} ^{n}$'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U $\mathbb {R} ^{3}$içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla $x_{1}$, $x_{2}$ ve $x_{3}$ eksenlerinde yer alan $\triangle ABC$ üçgenidir. $\{1,2,3\}$'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri $I$, $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ ve $\{1,2\}$'dir. Tanım olarak, $U_{\{2,3\}}$ $U=\triangle ABC$'nin $x_{2}x_{3}$-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani $U_{\{2,3\}}$ köşeleri O, B ve C olan $\triangle OBC$ üçgenidir, burada O '$\mathbb {R} ^{3}$'ün orjinidir. Benzer şekilde, $U_{\{1,3\}}=\triangle AOC$ ve $U_{\{1,2\}}=\triangle ABO$ olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

${\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),$

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Tarihçe

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.

Teoremin İspatı

İspat 1

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları $A_{1},A_{2},A_{3}$ ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı $H$ şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

$H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}$.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları $a,b,c$ ve yarı çevresi $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, $l_{1},l_{2},l_{3}$ ve $h_{1},h_{2},h_{3}$ şeklinde etiketlensin. Burada $l_{i}$, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve $h_{i}$ ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

$A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.$'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

$H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}$.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

$H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)$.

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

$h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}$ olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)$

ve teorem kanıtlanmış olur.

İspat 2

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 $A_{\color {blue}ABO}$ = b/3$A_{\color {green}ACO}$ = a/3 $A_{\color {red}BCO}$ aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 $A_{ABC}$'ye eşittir.

$\scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}$ vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik $\scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}$ ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: ${\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}$. Ve basitleştirerek $4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}$'ye yani istenen formüle ulaşılır.

Kaynakça

• Eric W. Weisstein, de Gua's theorem (MathWorld)
• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Carnegie Mellon University.
• De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

Konuyla ilgili yayınlar

• Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The Mathematical Intelligencer. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
• Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, makale
• Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale