Zermelo-Fraenkel küme teorisi

Zermelo-Fraenkel küme teorisi, soyut matematikte, seçim beliti ile birlikte kısaca ZFC diye anılan toplam 9 belitten oluşan küme kuramı'dır. Seçim belitini katmaksızın kısaca ZF olarak anılır. Küme ve öğesi olmak terimlerinin tanımsız kabul edildiği biçimsel dizge 1930'da Zermelo tarafından ortaya atıldı.^[1]

Bertrand Russell ve Frege arasında geçen mektuplaşmanın ardından bulunan Russell paradoksunun ardından matematiği çelişkisiz hale getirmek için başlatılan çabalardandır. Russell paradoksunun oluşturduğu çelişkiyi az ve doğru belitler seçerek ortadan kaldırmış ve günümüzdeki matematiğin temellerini atmıştır.

Motivasyon

19. yüzyıldan önce matematikle uğraşan insanlar, kavramları tanımlamak için sezgilere başvurmuştur. Örneğin Öklid, geometriyi inşa ederken "bir doğrunun sonsuza kadar uzatılması" gibi matematiksel olarak tanımlanmak yerine doğal dille tanımlanan aksiyomlar kullanmıştır. Bu şekilde de kümeler, matematiksel olarak tanımlanmak yerine "iyi tanımlı elemanlar topluluğu" şeklinde insan diliyle tanımlanmıştır. Böyle temellerden oluşan sezgisel küme teorisinde "elemanı olmak", "küme", "matematiksel nesne" gibi terimler, tanımsız bırakılmış ve bu kümelerle yapılabilecek işlemler, insan sezisine dayandırılmıştır.

Ancak 19. yüzyılın sonlarına doğru özellikle Frege ve Hilbert gibi matematikçilerin katkılarıyla bir küme teorisini sağlam temellere oturtma çabası başlamıştır. Bu çabayla birlikte sezgisel küme kuramının çelişkilerle dolu olduğu ortaya çıkmıştır. Bunların en ünlüsü, Russel paradoksudur:

$M$ , kendisini içermeyen tüm kümelerin kümesi olsun, yani $M=\{x:x\notin x\}$ . Mesela $A:=\{1,2,A,5\}$ şeklinde tanımlanmış bir küme olsun. O zaman $A\notin M$ , çünkü $A$ kendisini içeriyor. Diğer yandan $B:=\{0,6,{\sqrt {2}}\}$ şeklinde tanımlanan küme için $B\in M$ , çünkü $B\notin M$ .
Kendimize " $M$ kendisini içerir mi?" sorusunu soralım, yani $M{\stackrel {?}{\in }}M$

Eğer $M\in M$ ise o zaman $M$ kendisini içeriyordur, yani $M$ 'nin tanım şartı olan $x\notin x$ 'yi sağlamaz, yani $M\notin M$

Eğer $M\notin M$ ise o zaman $M$ kendisini içermiyordur, yani $M$ 'nin tanım şartı olan $x\notin x$ sağlanır, yani $M\in M$
Dolayısıyla sorduğumuz sorunun cevabı ne evet, ne de hayır, bu da bir çelişki teşkil eder.

Bu ve benzeri birtakım paradokslar, sezgisel olarak kullanılan küme kavramının çelişkili olduğunu göstermiştir ve böylece çelişkisiz ve aksiyomlara dayanan bir küme teorisi oluşturma arayışı başlamıştır. Bunu sağlayan bir sürü küme kuramı oluşturulduysa da bunların matematik camiasında en çok kabul göreni, bu makalede bahsedilen kısaca ZFC denilen Zermelo-Fraenkel küme kuramıdır.

Aksiyomları

Zermelo-Fraenkel küme kuramında sadece kümeler bulunmaktadır ve kümelerin elemanları yine sadece kümeler olabilir. Fonksiyonlar, ilişkiler, kartezyen ikililer ve sayılar dâhil diğer tüm matematiksel kavramlar, kümeler olarak tanımlanır. Buna mukabil, "küme" kavramı ZFC'de tanımlanmaz, varlığı kabul edilir. Bununla birlikte, iki $x,y$ kümesi için de "elemanı olmak" $x\in y$ ilişkisi de tanımlanmaz, var olduğu ve bazen doğru bazen yanlış olduğu varsayılır. $x\in y$ ilişkisinin zıddı, yani "x, y'nin elemanı değil" ifadesi $x\notin y$ şeklinde gösterilir.

Aynı zamanda bu iki ifade için kanıt aranmadan doğru kabul edilen 10 aksiyom bulunmaktadır. Bunların ilk 9'una ZF aksiyomları denir. 10. aksiyom olan seçim aksiyomu (C), matematik tarihinde karmaşaya sebep olsa da günümüzde matematik camialarınca kabul görerek küme teorisine eklenmiştir. Bu şekilde ZFC küme kuramı ortaya çıkar.

Aslında 3. ve 9. aksiyom tek bir aksiyom değildir, sonsuz aksiyomdan oluşan bir aksiyom şemasıdır; çünkü her $\varphi (x)$ önermesi için yeni bir aksiyom teşkil eder. ZFC'nin sonlu sayıda aksiyomla tanımlanamayacağı kanıtlanmıştır.^[2]

Temel aksiyomlar

ZFC'nin ilk 7 aksiyomu, matematiğin her dalında sık sık kullanılan temel aksiyomlardan oluşmaktadır. Bu aksiyomlar şunlardır:

1. Eşitlik Aksiyomu

İki $x$ ve $y$ kümesi için, ancak ve ancak $t\in x$ olduğunda $t\in y$ oluyorsa $x=y$ olur. $\forall x\forall y(\forall t(t\in x\Leftrightarrow t\in y)\Rightarrow x=y)$

Bu aksiyom, kısaca iki kümenin tüm elemanları aynı olduğu zaman eşit olduğunu ilan eder. İki eşit kümenin tüm elemanlarının aynı olduğunu söylemek için bir aksiyoma ihtiyaç duyulmaz, çünkü bu zaten eşit olmanın gerektirdiği bir durumdur.

Eğer her $t\in x$ için $t\in y$ oluyorsa, ama bunun tam tersi olmak zorunda değilse, o zaman $x$ 'e $y$ 'nin altkümesi denir ve bu durum $x\subseteq y$ şeklinde gösterilir. Altküme olmak aksiyomla varsayılan bir durum değildir, elemanı olmak kavramı ile tanımlanmaktadır. Eşitlik aksiyomuna istinaden, $x\subseteq y$ ve $y\subseteq x$ olduğunda $x=y$ olur, bu da eşitlik aksiyomunu yazmanın farklı bir yoludur.

2. Boşküme Aksiyomu

Öyle bir $\emptyset$ kümesi vardır ki, hiçbir $x$ için $x\in \emptyset$ olmaz. $\exists \emptyset \forall x(x\notin \emptyset )$

Bu kümeye boşküme denir. Eşitlik aksiyomuna göre bu küme biriciktir.

Bu aksiyom her kaynakta açıkça varsayılmaz, çünkü bazı mantık sistemlerine göre bu kümenin varlığı diğer aksiyomlardan kanıtlanabilir. Zira en az bir küme varsa diğer aksiyomlarla boşkümeyi oluşturmak mümkündür. Yani bu aksiyomun yanlış olduğu tek evren, hiçbir kümenin var olmadığı evrendir ki böyle evrenler bazı mantık sistemlerinde var olamazlar.

3. Tanımlama Aksiyomu

$A$ bir küme, ve $\varphi (x)$ de kümeler kuramı dilinde yazılan bir önerme olsun. O zaman öyle bir küme vardır ki, elemanları $A$ 'nin elemanıdır ve her elemanı için $\varphi (x)$ doğrudur. $\forall A\exists B\forall x(x\in B\Leftrightarrow x\in A\land \varphi (x))$

Bu tanımlanan küme, $\{x\in A:\varphi (x)\}$ şeklinde gösterilir; bu yazımı kullanmak tanımlama aksiyomunu kullanarak bir küme tanımlamaktır. 1. aksiyoma göre ayrıyeten bu küme biriciktir.

Dikkat etmek gerekir ki bu tanım, Russel paradoksundan kısmen kaçınmaktadır, zira $B:=\{x\in A:x\notin x\}$ olsun. Eğer aynı zamanda $B\in A$ değilse bir paradoks oluşmaz, çünkü daha ilk şart sağlanmadığından çelişkisiz bir şekilde $B\notin B$ sonucu ortaya çıkar. Paradokstan tamamen kaçınmak için $B\in A$ olasılığını imkânsız kılan bir aksiyom gerekcektir, o da ileride verilecektir.

Ayrıyeten $\varphi (x)$ her zaman yanlış olan bir ifadeyse, mesela bir çelişkiyse, o zaman herhangi bir $A$ kümesi var olduğu sürece $\{x\in A:\varphi (x)\}$ şeklinde boşküme tanımmlanabilir.

Bununla beraber, bu aksiyom sayesinde bir $X$ kümesi için tüm elemanlarının kesişimi, yani ${\textstyle \bigcap X}$ kümesi $X$ boş olmadığında oluşturulabilir. $X$ boş olmadığından bir $x_{0}\in X$ seçelim. Böylece ${\textstyle \bigcap X}$ şöyle tanımlanır: $\bigcap X=\{t\in x_{0}:\forall x\in X,t\in x\}$ Bu ${\textstyle \bigcap X}$ kümesi, sadedce $X$ 'in tüm elemanlarında bulunan elemanlardan oluşur. Benzer bir biçimde iki kümenin farkı işlemi olan $X\setminus Y$ 'yi de tanımlamak mümkündür. Lakin ${\textstyle \bigcup X}$ kümesini tanımlamak şu ana kadarki aksiyomlarla mümkün değildir, çünkü tanımlama aksiyomu $\{t:\exists x\in X,t\in x\}$ şeklinde bir başlangıç kümesi olmadan bir küme tanımlamaya izin vermemektedir. Bu durumda bize yeni bir aksiyom gerekmektedir:

4. Birleşim Aksiyomu

$A$ bir küme olsun. O zaman öyle bir ${\textstyle B}$ kümesi vardır ki $A$ 'nın elemanlarının birinde bulunan her eleman ${\textstyle B}$ 'de bulunur. $\forall A\exists B\forall x((\exists t(t\in A\land x\in t))\Rightarrow x\in B)$

Bahsedilen ${\textstyle B}$ , ${\textstyle A}$ 'nın elemanlarının birleşimi değildir, daha büyük de olabilir. Ancak ${\textstyle B}$ 'yi ve 3. aksiyomu kullanarak ${\textstyle \bigcup A}$ 'yı da kolaylıkla tanımlayabiliriz: $\bigcup A:=\{t\in B:\exists x\in A,t\in x\}$ Dikkat edilmesi gerekir ki bu aksiyomla halen $X\cup Y$ 'yi tanımlamak mümkün değildir, çünkü daha $X$ ve $Y$ 'yi içeren bir kümenin varlığını garantileyen hiçbir şey yok. Buna mukabil $X\cap Y$ 'i tanımlamak mümkündür, $\{t\in X:t\in Y\}$ şeklinde. Yani bu ilk 4 aksiyomla sahip olduğumuz kümeleri büyütmenin hiçbir yolu yok ve daha sadece boşkümenin varlığından kesin olarak eminiz; başka kümeler olabilir de, olmayabilir de. Bu iki sorunu çözmek, yeni bir aksiyomu istilzam eder:

5. Eşleme Aksiyomu

$A$ ve $B$ iki küme olsun. O zaman bu iki kümeyi içeren bir küme mevcuttur. $\forall A\forall B\exists X(A\in X\land B\in X)$

Bu ${\textstyle X}$ kümesini bulduktan sonra 3. aksiyomun yardımıyla sadece ${\textstyle A}$ ve ${\textstyle B}$ 'den oluşan bir küme tanımlayabiliriz: $\{A,B\}:=\{x\in X:x=A\lor x=B\}$ Dahası, aynı kümeyi iki kere kullanarak, yani $A=B$ şeklinde ${\textstyle B}$ 'yi seçerek ${\textstyle \{A\}}$ kümesini de tanımlayabiliriz. Bu bizim daha büyük kümeler tanımlamamıza olanak sağlar, mesela artık boşküme dışında ${\textstyle \{\emptyset \}}$ kümesinin de olduğunu biliyoruz. Ayrıca $X\cup Y$ 'yi de tanımlayabiliriz, ${\textstyle \bigcup \{X,Y\}}$ şeklinde.

Hatta şimdi doğal sayıları tanımlamak da mümkündür. $S(x)$ ile $x\cup \{x\}$ kümesini tanımlayalım. O zaman, tüm doğal sayılar şu şekilde tanımlanabilir:

$0:=\emptyset$
$1:=S(0)=\{0\}=\{\emptyset \}$
$2:=S(1)=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$
$3:=S(3)=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$
ve saire

Kısaca $0$ 'ı $\emptyset$ olarak tanımladık. Sonrasında gelen her $n$ için $n+1$ 'i de $S(n)$ olarak tanımladık. Bu tanımda bir nevi tümevarım söz konusudur. Ancak tüm doğal sayıları tanımlamış olsak da daha doğal sayılar kümesinin varlığından haberdar değiliz. Hatta hiçbir sonsuz kümenin varlığından haberdar değiliz, çünkü şu ana kadar olan tüm aksiyomlar, sonlu kümelerden sadece sonlu kümeler üretebiliyor.

6. Sonsuzluk Aksiyomu

$\emptyset$ 'yi, ve içerdiği her $x$ kümesi için $S(x)$ 'i içeren bir küme vardır. $\exists X(\emptyset \in X\land (\forall x(x\in X\Rightarrow S(x)\in X))$

Günlük dille bu aksiyom, "sonsuz bir küme vardır" şeklinde özetlenebilir.

Bu sözü geçen küme doğal sayılar kümesi olmak zorunda değildir, ancak doğal sayılar kümesini bu kümenin içinde bulmak mümkündür: $\mathbb {N} :=\bigcap \{x\in X:\emptyset \in x\land (\forall t\in x,S(t)\in x)\}$ Burada $\mathbb {N}$ 'yi, $0$ 'ı ve içerdiği her $n$ için $S(n)$ 'i içeren tüm kümelerin kesişimi olarak tanımlamış bulunmaktayız.

Şu ana kadarki aksiyomlarla sonlu ve sayılabilir sonsuzlukta olan kümeler oluşturmak mümkündür. Lâkin bu aksiyomlar, daha fonksiyonları ve kartezyen çarpımları tanımlamaya yetmemektedir ve daha sayılamaz sonsuzlukta kümelerin varlığını göstermek de mümkün değildir. Dahası, "sonlu" ve "sayılabilir sonsuz" kavramlarını tanımlamak için de bu aksiyomlar yetmez. Bunun için yeni bir aksiyom gerekmektedir:

7. Güç Kümesi Aksiyomu

$A$ bir küme olsun. $A$ 'nın altkümelerini içeren bir küme mevcuttur. $\forall A\exists B\forall x(x\subseteq A\Rightarrow x\in B)$

Bu kümenin içinden 3. aksiyomla $A$ 'nın altkümelerinden oluşan güç kümesini bulmak mümkündür: ${\mathcal {P}}(A):=\{x\in B:x\subseteq A\}$ Dahası, 5. aksiyomla kartezyen ikilileri tanımlamak da mümkündür: $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ Kanıtlanabileceği üzere $(x,y)=(z,w)$ , ancak ve ancak $x=z$ ve $y=w$ olduğunda geçerli olur. Güç kümesi aksiyomu sayesinde de iki kümenin kartezyen çarpımını tanımlamak da mümkündür: $X\times Y:=\{\eta \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)):\exists x\in X,\exists y\in Y,\eta =(x,y)\}$ Kartezyen çarpımları kullanarak fonksiyonları ve ilişkileri de tanımlamak mümkündür. Bu noktadan itibaren bu kavramların tanımlandığı varsayılacaktır.

Diğer Aksiyomlar

Sonraki iki aksiyom ise sadece matematiğin ileri seviye alanlarında kullanılmaktadır. Bu aksiyomların özellikle ilki, ZFC'nin çelişkisiz olmasını sağlayıp Russel paradoksunu engeller.

8. Düzenlilik Aksiyomu

Boş olmayan her $x$ kümesinin içinde öyle bir $y$ elemanı vardır ki $x\cap y=\emptyset$ olsun. $\forall x(x=\emptyset \lor \exists y(y\in x\land y\cap x=\emptyset ))$

Böylece hiçbir $x$ kümesi için $x\in x$ olamaz, zira $\{x\}$ kümesinin içinde bulunan tek eleman olan $x$ , $x\cap \{x\}=\emptyset$ özelliğini sağlamak zorunda olduğundan $x\notin x$ souncu çıkardı. 3. aksiyomdaki kısıtlamayla beraber bu durum, Russel paradoksunun ve benzeri bir sürü paradoksun önüne geçmektedir. Aynı şekilde, tüm kümelerin kümesi gibi çelişki dolu kavramları da kuramın dışında tutmaktadır. Benzer bir şekilde $x\in y\in x$ gibi daha uzun zincirlerin varlığı da bu şekilde çürütülebilmektedir.

9. Yerleştirme Aksiyomu

$\varphi (x,y)$ , her $x\in X$ için sadece bir $y$ için doğru olan bir önerme olsun. O zaman her $x\in X$ için doğruluğu sağlayan $y$ 'lerden oluşan bir küme vardır. $\forall X(\forall x(x\in X\Rightarrow \exists !y(\varphi (x,y))\Rightarrow \exists Y\forall y(y\in Y\Rightarrow \exists x(x\in X\land \varphi (x,y)))))$

Burada $\varphi$ , tanım kümesi olmayan bir fonksiyon gibidir. Bu aksiyom, 3. aksiyomu ihlâl ederek daha bir üst küme olmadan yeni bir küme oluşturmaktadır. $\varphi$ 'ye bir fonksiyon gibi bakarsak, oluşan küme de $\varphi$ 'nin görüntü kümesine benzer.

Bu aksiyom temel matematikte kullanılmaz, ama ordinallerin teorisinde büyük önem taşır. Ayrıyeten bazı kanıtları oldukça kısalttığından modern matematikte ZFC'nin bir parçası olarak kabul görmüştür.

Seçim aksiyomu

Sonuncu aksiyom olan seçim aksiyomu, 20. yüzyılın başında matematikçiler arasında büyük tartışmalara yol açmıştır. Kurt Gödel ve Paul Cohen tarafından seçim aksiyomunun ZF'den bağımsız olduğu kanıtlanınca, seçim aksiyomu olmadan kanıtlanamayan onlarca teorem olduğundan bu aksiyom da küme kuramının bir parçası olarak kabul görmüştür. Ancak matematik camiasında seçim aksiyomu ve sonuçları kullanmadan yapılan kanıtlar daha güzel görülmektedir ve mümkünse bu tarz kanıtlar tercih edilir.

10. Seçim Aksiyomu

Her $X$ kümesi için, $\emptyset \notin X$ ise öyle bir ${\textstyle f:X\mapsto \bigcup X}$ fonksiyonu bulunur ki her $x\in X$ için $f(x)\in x$ olur.

Kısaca, bir kümenin hiçbir elemanı boş değilse, her elemandan bir eleman seçip yeni bir küme oluşturmak mümkündür. Aksiyom, bu kümenin nasıl oluşturulduğu konusunda hiçbir bilgi vermez, sadece varlığını garantiler.

Yüzlerce yıldır matematikçiler, bu aksiyomun bariz olduğunu zannederek kanıtlarını yapsalar da 19. yüzyılın sonuna doğru bu varsayımın bariz olmadığı anlaşılmıştır. Sadece seçim aksiyomunu kullanarak kanıtlanabilen onlarca matematiksel hakikat mevcuttur, meselâ seçim aksiyomu olmadan her vektör uzayının bir tabanının olduğu kanıtlanamaz. Ancak seçim aksiyomu sayesinde çok beklenmedik şeyler de kanıtlanabilir, mesela Banach-Tarski paradoksunda seçim aksiyomu ile bir küreyi 5 parçaya bölüp, sadece döndürüp oynatarak bu 5 parçayı birleştirerek 2 eş küre elde etmek mümkündür.

Bu şekilde oluşturulan kümelerin bazen neye benzediğini tahayyül etmek bile mümkün değildir. Bu yüzden matematikçiler bu aksiyomu kullanmayı çok hazmedemez ve olduğu kadarıyla kullanmaktan kaçınmayı dener.

Bu aksiyomun çok önemli sonuçlarından biri, Zorn önsavıdır.

Kaynakça

^ E. Zermelo, "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche." Fund. Math. 16, 29-47, 1930.
^ Ali Nesin (2010). Sezgisel Kümeler Kuramı. Nesin Yayınevi. ISBN 9786054883394.

Russel paradoksu 12 Şubat 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Bertrand Russel ve Frege 2 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1] E. Zermelo, "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche." Fund. Math. 16, 29-47, 1930.

[2] Ali Nesin (2010). Sezgisel Kümeler Kuramı. Nesin Yayınevi. ISBN 9786054883394.

[1]

[2]