Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için lütfen tartışma sayfasını inceleyin veya yeni bir tartışma başlatın.Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. (Eylül 2023 )
Aşağıdaki liste trigonometrik fonksiyonların integrallerini içermektedir. İntegral fonksiyonlarının tüm bir listesi için lütfen İntegral tablosu sayfasına bakınız.
c sabiti sıfırdan farklı varsayılmıştır.
Sadece Sinüs içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
c burada integral sabitidir:
∫ sin a x d x = − 1 a cos a x {\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax\,\!} ∫ sin x d x = − cos x {\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x\,\!} ∫ sin n c x d x = − sin n − 1 c x cos c x n c + n − 1 n ∫ sin n − 2 c x d x ( n > 0 için) {\displaystyle \int \sin ^{n}{cx}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin 2 c x d x = x 2 − 1 4 c sin 2 c x = x 2 − 1 2 c sin c x cos c x {\displaystyle \int \sin ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!} ∫ 1 − sin x d x = ∫ cvs x d x = 2 cos x 2 + sin x 2 cos x 2 − sin x 2 cvs x = 2 1 + sin x {\displaystyle \int {\sqrt {1-\sin {x}}}\,dx=\int {\sqrt {\operatorname {cvs} \,{x}}}\,dx=2{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}{\sqrt {\operatorname {cvs} \,{x}}}=2{\sqrt {1+\sin {x}}}} Not: cvs{x} fonksiyonu 1-sinx'e eşittir.
∫ x sin c x d x = sin c x c 2 − x cos c x c {\displaystyle \int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!} ∫ x n sin c x d x = − x n c cos c x + n c ∫ x n − 1 cos c x d x ( n > 0 için) {\displaystyle \int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ − a 2 a 2 x 2 sin 2 n π x a d x = a 3 ( n 2 π 2 − 6 ) 24 n 2 π 2 ( n = 2 , 4 , 6... için) {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=2,4,6...{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin c x x d x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( c x ) 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ⋅ ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x}}dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(cx)^{2k+1}}{(2k+1)\cdot (2k+1)!}}\,\!} ∫ sin c x x n d x = − sin c x ( n − 1 ) x n − 1 + c n − 1 ∫ cos c x x n − 1 d x {\displaystyle \int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx\,\!} ∫ d x sin c x = 1 c ln | tan c x 2 | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|} ∫ d x sin n c x = cos c x c ( 1 − n ) sin n − 1 c x + n − 2 n − 1 ∫ d x sin n − 2 c x ( n > 1 için) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x 1 ± sin c x = 1 c tan ( c x 2 ∓ π 4 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)} ∫ x d x 1 + sin c x = x c tan ( c x 2 − π 4 ) + 2 c 2 ln | cos ( c x 2 − π 4 ) | {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|} ∫ x d x 1 − sin c x = x c cot ( π 4 − c x 2 ) + 2 c 2 ln | sin ( π 4 − c x 2 ) | {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|} ∫ sin c x d x 1 ± sin c x = ± x + 1 c tan ( π 4 ∓ c x 2 ) {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)} ∫ sin c 1 x sin c 2 x d x = sin ( c 1 − c 2 ) x 2 ( c 1 − c 2 ) − sin ( c 1 + c 2 ) x 2 ( c 1 + c 2 ) ( | c 1 | ≠ | c 2 | için) {\displaystyle \int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{ için)}}\,\!} Sadece Kosinüs içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ cos c x d x = 1 c sin c x {\displaystyle \int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx\,\!} ∫ cos n c x d x = cos n − 1 c x sin c x n c + n − 1 n ∫ cos n − 2 c x d x ( n > 0 için) {\displaystyle \int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ x cos c x d x = cos c x c 2 + x sin c x c {\displaystyle \int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}\,\!} ∫ cos 2 c x d x = x 2 + 1 4 c sin 2 c x = x 2 + 1 2 c sin c x cos c x {\displaystyle \int \cos ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!} ∫ x n cos c x d x = x n sin c x c − n c ∫ x n − 1 sin c x d x {\displaystyle \int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!} ∫ − a 2 a 2 x 2 cos 2 n π x a d x = a 3 ( n 2 π 2 − 6 ) 24 n 2 π 2 ( n = 1 , 3 , 5... için) {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ cos c x x d x = ln | c x | + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( c x ) 2 k 2 k ⋅ ( 2 k ) ! {\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(cx)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}\,\!} ∫ cos c x x n d x = − cos c x ( n − 1 ) x n − 1 − c n − 1 ∫ sin c x x n − 1 d x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x cos c x = 1 c ln | tan ( c x 2 + π 4 ) | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|} ∫ d x cos n c x = sin c x c ( n − 1 ) c o s n − 1 c x + n − 2 n − 1 ∫ d x cos n − 2 c x ( n > 1 için) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)cos^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x 1 + cos c x = 1 c tan c x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!} ∫ d x 1 − cos c x = − 1 c cot c x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!} ∫ x d x 1 + cos c x = x c tan c x 2 + 2 c 2 ln | cos c x 2 | {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|} ∫ x d x 1 − cos c x = − x c cot c x 2 + 2 c 2 ln | sin c x 2 | {\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|} ∫ cos c x d x 1 + cos c x = x − 1 c tan c x 2 {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!} ∫ cos c x d x 1 − cos c x = − x − 1 c cot c x 2 {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!} ∫ cos c 1 x cos c 2 x d x = sin ( c 1 − c 2 ) x 2 ( c 1 − c 2 ) + sin ( c 1 + c 2 ) x 2 ( c 1 + c 2 ) ( | c 1 | ≠ | c 2 | için) {\displaystyle \int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{ için)}}\,\!} Sadece Tanjant içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ tan c x d x = − 1 c ln | cos c x | = 1 c ln | sec c x | {\displaystyle \int \tan cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\ln |\cos cx|\,\!={\frac {1}{c}}\ln |\sec cx|\,\!} ∫ d x tan c x = 1 c ln | sin c x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan cx}}={\frac {1}{c}}\ln |\sin cx|\,\!} ∫ tan n c x d x = 1 c ( n − 1 ) tan n − 1 c x − ∫ tan n − 2 c x d x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \tan ^{n}cx\;dx={\frac {1}{c(n-1)}}\tan ^{n-1}cx-\int \tan ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x tan c x + 1 = x 2 + 1 2 c ln | sin c x + cos c x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan cx+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|\,\!} ∫ d x tan c x − 1 = − x 2 + 1 2 c ln | sin c x − cos c x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan cx-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|\,\!} ∫ tan c x d x tan c x + 1 = x 2 − 1 2 c ln | sin c x + cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\tan cx\;dx}{\tan cx+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx+\cos cx|\,\!} ∫ tan c x d x tan c x − 1 = x 2 + 1 2 c ln | sin c x − cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\tan cx\;dx}{\tan cx-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln |\sin cx-\cos cx|\,\!} Sadece Sekant içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ sec c x d x = 1 c ln | sec c x + tan c x | {\displaystyle \int \sec {cx}\,dx={\frac {1}{c}}\ln {\left|\sec {cx}+\tan {cx}\right|}} ∫ sec n c x d x = sec n − 1 c x sin c x c ( n − 1 ) + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 c x d x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{cx}\sin {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x sec x + 1 = x − tan x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}} Sadece Kosekant içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ csc c x d x = − 1 c ln | csc c x + cot c x | {\displaystyle \int \csc {cx}\,dx=-{\frac {1}{c}}\ln {\left|\csc {cx}+\cot {cx}\right|}} ∫ csc 2 x d x = − cot x {\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}} ∫ csc n c x d x = − csc n − 1 c x cos c x c ( n − 1 ) + n − 2 n − 1 ∫ csc n − 2 c x d x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \csc ^{n}{cx}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-1}{cx}\cos {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Sadece Kotanjant içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ cot c x d x = 1 c ln | sin c x | {\displaystyle \int \cot cx\;dx={\frac {1}{c}}\ln |\sin cx|\,\!} ∫ cot n c x d x = − 1 c ( n − 1 ) cot n − 1 c x − ∫ cot n − 2 c x d x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \cot ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\cot ^{n-1}cx-\int \cot ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x 1 + cot c x = ∫ tan c x d x tan c x + 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot cx}}=\int {\frac {\tan cx\;dx}{\tan cx+1}}\,\!} ∫ d x 1 − cot c x = ∫ tan c x d x tan c x − 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot cx}}=\int {\frac {\tan cx\;dx}{\tan cx-1}}\,\!} Sinüs ve Kosinüsü birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ d x cos c x ± sin c x = 1 c 2 ln | tan ( c x 2 ± π 8 ) | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos cx\pm \sin cx}}={\frac {1}{c{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|} ∫ d x ( cos c x ± sin c x ) 2 = 1 2 c tan ( c x ∓ π 4 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos cx\pm \sin cx)^{2}}}={\frac {1}{2c}}\tan \left(cx\mp {\frac {\pi }{4}}\right)} ∫ d x ( cos x + sin x ) n = 1 n − 1 ( sin x − cos x ( cos x + sin x ) n − 1 − 2 ( n − 2 ) ∫ d x ( cos x + sin x ) n − 2 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)} ∫ cos c x d x cos c x + sin c x = x 2 + 1 2 c ln | sin c x + cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{\cos cx+\sin cx}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln \left|\sin cx+\cos cx\right|} ∫ cos c x d x cos c x − sin c x = x 2 − 1 2 c ln | sin c x − cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{\cos cx-\sin cx}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\sin cx-\cos cx\right|} ∫ sin c x d x cos c x + sin c x = x 2 − 1 2 c ln | sin c x + cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos cx+\sin cx}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\sin cx+\cos cx\right|} ∫ sin c x d x cos c x − sin c x = − x 2 − 1 2 c ln | sin c x − cos c x | {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos cx-\sin cx}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\sin cx-\cos cx\right|} ∫ cos c x d x sin c x ( 1 + cos c x ) = − 1 4 c tan 2 c x 2 + 1 2 c ln | tan c x 2 | {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin cx(1+\cos cx)}}=-{\frac {1}{4c}}\tan ^{2}{\frac {cx}{2}}+{\frac {1}{2c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|} ∫ cos c x d x sin c x ( 1 + − cos c x ) = − 1 4 c cot 2 c x 2 − 1 2 c ln | tan c x 2 | {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin cx(1+-\cos cx)}}=-{\frac {1}{4c}}\cot ^{2}{\frac {cx}{2}}-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|} ∫ sin c x d x cos c x ( 1 + sin c x ) = 1 4 c cot 2 ( c x 2 + π 4 ) + 1 2 c ln | tan ( c x 2 + π 4 ) | {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos cx(1+\sin cx)}}={\frac {1}{4c}}\cot ^{2}\left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|} ∫ sin c x d x cos c x ( 1 − sin c x ) = 1 4 c tan 2 ( c x 2 + π 4 ) − 1 2 c ln | tan ( c x 2 + π 4 ) | {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)}}={\frac {1}{4c}}\tan ^{2}\left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|} ∫ sin c x cos c x d x = 1 2 c sin 2 c x {\displaystyle \int \sin cx\cos cx\;dx={\frac {1}{2c}}\sin ^{2}cx\,\!} ∫ sin c 1 x cos c 2 x d x = − cos ( c 1 + c 2 ) x 2 ( c 1 + c 2 ) − cos ( c 1 − c 2 ) x 2 ( c 1 − c 2 ) ( | c 1 | ≠ | c 2 | için) {\displaystyle \int \sin c_{1}x\cos c_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}-{\frac {\cos(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin n c x cos c x d x = 1 c ( n + 2 ) sin n + 1 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \sin ^{n}cx\cos cx\;dx={\frac {1}{c(n+2)}}\sin ^{n+1}cx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin c x cos n c x d x = − 1 c ( n + 1 ) cos n + 1 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int \sin cx\cos ^{n}cx\;dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\cos ^{n+1}cx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin n c x cos m c x d x = − sin n − 1 c x cos m + 1 c x c ( n + m ) + n − 1 n + m ∫ sin n − 2 c x cos m c x d x ( m , n > 0 için) {\displaystyle \int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos ^{m+1}cx}{c(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}cx\cos ^{m}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\,\!} Ayrıca: ∫ sin n c x cos m c x d x = sin n + 1 c x cos m − 1 c x c ( n + m ) + m − 1 n + m ∫ sin n c x cos m − 2 c x d x ( m , n > 0 için) {\displaystyle \int \sin ^{n}cx\cos ^{m}cx\;dx={\frac {\sin ^{n+1}cx\cos ^{m-1}cx}{c(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}cx\cos ^{m-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x sin c x cos c x = 1 c ln | tan c x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan cx\right|} ∫ d x sin c x cos n c x = 1 c ( n − 1 ) cos n − 1 c x + ∫ d x sin c x cos n − 2 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n}cx}}={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}+\int {\frac {dx}{\sin cx\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ d x sin n c x cos c x = − 1 c ( n − 1 ) sin n − 1 c x + ∫ d x sin n − 2 c x cos c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx\cos cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx\cos cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin c x d x cos n c x = 1 c ( n − 1 ) cos n − 1 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\sin cx\;dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {1}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin 2 c x d x cos c x = − 1 c sin c x + 1 c ln | tan ( π 4 + c x 2 ) | {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}cx\;dx}{\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\sin cx+{\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {cx}{2}}\right)\right|} ∫ sin 2 c x d x cos n c x = sin c x c ( n − 1 ) cos n − 1 c x − 1 n − 1 ∫ d x cos n − 2 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}cx\;dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)\cos ^{n-1}cx}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin n c x d x cos c x = − sin n − 1 c x c ( n − 1 ) + ∫ sin n − 2 c x d x cos c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos cx}}=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ sin n c x d x cos m c x = sin n + 1 c x c ( m − 1 ) cos m − 1 c x − n − m + 2 m − 1 ∫ sin n c x d x cos m − 2 c x ( m ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx}}={\frac {\sin ^{n+1}cx}{c(m-1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Ayrıca: ∫ sin n c x d x cos m c x = − sin n − 1 c x c ( n − m ) cos m − 1 c x + n − 1 n − m ∫ sin n − 2 c x d x cos m c x ( m ≠ n için) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx}}=-{\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(n-m)\cos ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}cx\;dx}{\cos ^{m}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\,\!} Ayrıca: ∫ sin n c x d x cos m c x = sin n − 1 c x c ( m − 1 ) cos m − 1 c x − n − 1 n − 1 ∫ sin n − 1 c x d x cos m − 2 c x ( m ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}cx\;dx}{\cos ^{m}cx}}={\frac {\sin ^{n-1}cx}{c(m-1)\cos ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{n-1}}\int {\frac {\sin ^{n-1}cx\;dx}{\cos ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ cos c x d x sin n c x = − 1 c ( n − 1 ) sin n − 1 c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cos cx\;dx}{\sin ^{n}cx}}=-{\frac {1}{c(n-1)\sin ^{n-1}cx}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} ∫ cos 2 c x d x sin c x = 1 c ( cos c x + ln | tan c x 2 | ) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}cx\;dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\left(\cos cx+\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|\right)} ∫ cos 2 c x d x sin n c x = − 1 n − 1 ( cos c x c sin n − 1 c x ) + ∫ d x sin n − 2 c x ) ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}cx\;dx}{\sin ^{n}cx}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos cx}{c\sin ^{n-1}cx)}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}} ∫ cos n c x d x sin m c x = − cos n + 1 c x c ( m − 1 ) sin m − 1 c x − n − m − 2 m − 1 ∫ c o s n c x d x sin m − 2 c x ( m ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx}}=-{\frac {\cos ^{n+1}cx}{c(m-1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {cos^{n}cx\;dx}{\sin ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Ayrıca: ∫ cos n c x d x sin m c x = cos n − 1 c x c ( n − m ) sin m − 1 c x + n − 1 n − m ∫ c o s n − 2 c x d x sin m c x ( m ≠ n için) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx}}={\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(n-m)\sin ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\,\!} Ayrıca: ∫ cos n c x d x sin m c x = − cos n − 1 c x c ( m − 1 ) sin m − 1 c x − n − 1 m − 1 ∫ c o s n − 2 c x d x sin m − 2 c x ( m ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}cx\;dx}{\sin ^{m}cx}}=-{\frac {\cos ^{n-1}cx}{c(m-1)\sin ^{m-1}cx}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {cos^{n-2}cx\;dx}{\sin ^{m-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Sinüs ve Tanjantı birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ sin c x tan c x d x = 1 c ( ln | sec c x + tan c x | − sin c x ) {\displaystyle \int \sin cx\tan cx\;dx={\frac {1}{c}}(\ln |\sec cx+\tan cx|-\sin cx)\,\!} ∫ tan n c x d x sin 2 c x = 1 c ( n − 1 ) tan n − 1 ( c x ) ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n-1)}}\tan ^{n-1}(cx)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Kosinüs ve Tanjantı birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ tan n c x d x cos 2 c x = 1 c ( n + 1 ) tan n + 1 c x ( n ≠ − 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)}}\tan ^{n+1}cx\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}\,\!} Sinüs ve Kotanjantı birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ cot n c x d x sin 2 c x = 1 c ( n + 1 ) cot n + 1 c x ( n ≠ − 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}cx\;dx}{\sin ^{2}cx}}={\frac {1}{c(n+1)}}\cot ^{n+1}cx\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}\,\!} Kosinüs ve Kotanjantı birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ cot n c x d x cos 2 c x = 1 c ( 1 − n ) tan 1 − n c x ( n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}cx\;dx}{\cos ^{2}cx}}={\frac {1}{c(1-n)}}\tan ^{1-n}cx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Tanjant ve Kotanjantı birlikte içeren trigonometrik fonksiyonların integralleri
değiştir
∫ tan m ( c x ) cot n ( c x ) d x = 1 c ( m + n − 1 ) tan m + n − 1 ( c x ) − ∫ tan m − 2 ( c x ) cot n ( c x ) d x ( m + n ≠ 1 için) {\displaystyle \int {\frac {\tan ^{m}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx={\frac {1}{c(m+n-1)}}\tan ^{m+n-1}(cx)-\int {\frac {\tan ^{m-2}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx\qquad {\mbox{(}}m+n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!} Trigonometrik fonksiyonların simetrik sınırlar altındaki integralleri
değiştir
∫ − c c sin x d x = 0 {\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\;dx=0\!}
∫ − c c cos x d x = 2 ∫ 0 c cos x d x = 2 ∫ − c 0 cos x d x = 2 sin c {\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\;dx=2\sin {c}\!}
∫ − c c tan x d x = 0 {\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\;dx=0\!}