Silindir

Silindir veya üstüvane (Antik Yunanca κύλινδρος, kúlindros); eğimli yüzeye sahip, üç boyutlu bir cisimdir. En temel matematiksel cisimlerden biridir. Basitçe daire tabanlı bir prizmayı ifade eder.

Silindir
Yüksekliği h ve çapı d=2r olan dairesel bir dik silindir
Tür	Pürüzsüz yüzey Cebirsel yüzey
Euler kar.	2
Simmetri grubu	O(2)×O(1)
Yüzey alanı	2πr(r + h)
Hacim	πr2h

Silindir, bazı modern matematik ve topoloji tanımlamalarında sonsuz eğrisellikte bir yüzeyi de ifade edebilir. Genel olarak bir hacmi mi yoksa yüzeyi mi belirttiği ise farklılık gösterebilir. Bunların yanında kimi zaman dik dairesel silindiri, iki paralel daire tabana ve bu tabanları birleştiren düzgün bir yan yüzeye sahip silindir, de ifade edebilir.

Türleri

Bu bölümdeki tanımlama ve çıkarımlar, George A. Wentworth ve David Eugene Smith'in hazırladığı 1913 yayını "Plane and Solid Geometry"den alınmıştır (Wentworth & Smith 1913).

Silindirik yüzey; belirli bir doğruya paralel olan, ayrıca bu doğruya paralel olmayan bir düzlemde yer alan, sabit bir düzlemsel eğriden geçen tüm doğrular üzerindeki noktaların oluşturduğu yüzeydir. Bu paralel doğrular kümesindeki herhangi bir doğruya silindirik yüzeyin bir elemanı denir. Kinematik açıdan bakıldığında silindirik yüzey; ana doğru adı verilen ve eğrinin düzleminde bulunmayan bir doğrunun, kendisine paralel olacak şekilde hareket ederken oluşturduğu yüzeydir. Ana doğrunun belirli herhangi bir konumu, silindirik yüzeyin bir elemanıdır.

Silindirik yüzey ve iki paralel düzlem arasında snırlanan cisme silindir denir. Düzlemler arasındaki her bir doğru, silindrin bir elemanıdır. Bir silindirin tüm elemanlarının uzunluğu eşittir. Silindirin iki düzlemde kısıtladığı bölgelerin her birine de taban denir. Silindirin iki tabanı birbirine eştir. Silindirin elemanları tabanlara dikse silindir, dik dairesel silindir olarak adlandırılır. Aksi takdirde eğik silindir olur. Silindirin tabanları birer daire ise silindir bir dairesel silindirdir. Eğer silindirin tabanı yoksa bu silindire açık silindir denir. Bazı basit tanımlamalarda silindir kavramı, dairesel silindir veya dik dairesel silindire de gönderme yapabilir.

Silindirin yüksekliği, silindirin tabanları arasındaki dik uzaklıktır.

İki eşit uzunlukta, aynı hizada ve paralel doğru parçasından birinin diğeri etrafında döndürülmesi sonucu çevrelenen hacmin oluşturduğu silindire devir silindiri denir. Bu silindir daima bir dik dairesel silindirdir. Silindirin elemanlarının uzunluğu ve yüksekliği daima başlangıçtaki doğru parçalarının uzunluğuna eşittir.

Bir dik ve bir eğik dairesel silindir

Dik dairesel silindir

Ana madde: Dik dairesel silindir

r yarıçapı ve h yüksekliğine sahip bir dik dairesel silindir

Günlük hayatta kullanılan silindir terimi genellikle birbirine paralel daire tabanlı, elemanları tabanlara dik bir silindire, dik dairesel silindir, gönderme yapar. Eğer bu silindir tabanlara sahip değilse (tabanları bir düzlem değilse) açık silindir olarak adlandırılır. Bu silindirin yüzey alanı ve hacim formülleri antik dönemlerden beri bilinmektedir.

Bir dik dairesel silindir, aynı zamanda paralel, aynı hizada ve eşit uzunlukta iki doğrunun oluşturduğu bir dönel cisim olarak düşünülebilir.

Yüksekliği çap uzunluğundan büyük bir silindir iğne silindir, çap uzunluğu yüksekliğinden büyük bir silindir ise disk silindir olarak adlandırılabilir.

Özellikler

Silindir kesiti

Bir silindir kesiti

Silindir kesiti, silindirin bir düzlem ile iki parçaya ayrılması sonucu ortaya çıkan iki boyutlu bölgedir. Silindirin en az iki elemanını içine alan kesit, bir paralelkenardır. Eğer bu kesit bir dik dairesel silindir üzerindeyse kesit aynı zamanda bir dikdörtgendir.

Silindirin tüm elemanlarına dik olan bir kesit, dik kesit olarak adlandırılır. Eğer bir dik kesit bir daire oluyorsa o silindir de bir dairesel silindirdir. Daha genel bir ifade ile eğer bir dik kesit bir konik kesit (parabol, hiperbol veya elips) ise o silindirin dik kesitinin şekline bağlı olarak parabolik, hiperbolik veya eliptik olduğu söylenebilir.

Bir dik dairesel silindirin çeşitli kesitleri

Bir dik dairesel silindiri kesit ile ayırmanın pek çok yolu vardır. Öncelikle, kesitler bir tabanı en az bir noktada kesebilir. Bir düzlem, silindiri tek noktada kesiyorsa düzlem silindire teğettir. Slindire dik kesitler daire şeklinde, tabana temas etmeyen diğer kesitler ise elips şeklindedir. Eğer bir düzlem, silindirin bir tabanını tam iki noktada kesiyorsa, bu noktaları birleştiren doğru parçası silindir kesitinin bir parçasıdır. Eğer böyle bir kesit, iki eleman içeriyorsa dikdörtgen şeklindedir. Aksi takdirde silindir kesitinin parçaları bir elipsin parçasıdır. Son olarak, eğer bir kesit tabanı ikiden fazla noktada kesiyorsa, tabanın tamamı ile çakışmış haldedir ve kesit bir dairedir.

Bir dik dairesel silindirde elips şeklinde bir kesit olması durumunda silindir kesitinin eksantriği (e) ve yarı büyük ekseni (a), silindirin yarıçapı (r) ve sekant düzlemi ile silindir ekseni arasındaki açı α'ya, aşağıda anlatıldığı üzere, bağlıdır.$${\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}$$

Hacim

Basitçe, r yarıçapı ve h yüksekliğine sahip bir dairesel silindirin hacmi şu formülle hesaplanır: $$V=\pi r^{2}h$$ Bu formül, silindirin dik olup olmamasına bağlı değil, sadece daireselliğine bağlıdır. Cavalieri ilkesine dayanır.

Yarı eksenleri a ve b uzunluğunda ve h yüksekliğine sahip eliptik dik silindir

Daha genel kapsamda bir silindirin hacmi, dairesel veya dik olup olmaması fark etmeksizin, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Örneğin yarı büyük ekseni a, yarı küçük ekseni b uzunluğunda ve h yüksekliğine sahip bir dik eliptik silindirin hacmi V = Ah ile hesaplanabilir. Burada taban alanı A, πab'ye eşittir.

Dik eliptik silindirin hacmi integral ile de hesaplanabilir. Silindirin ekseni pozitif x ekseni kabul edilir ve A(x) = A kesit alanıdır. $$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$$

Silindirik koordinat sistemi kullanılarak bir dik dairesel silindirin hacmi de integral ile hesaplanabilir: $${\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}$$

Yüzey alanı

r yarıçapı ve h yüksekliğine sahip bir dik dairesel silindirin hacmi üç faktöre bağlıdır:

• üst taban alanı: πr²
• alt taban alanı: πr²
• yan yüzey alanı: 2πrh

Üst ve alt taban alanları birbirine eşittir ve basitçe taban alanı (B) olarak adlandırılır. Yan yüzey alanı ise yanal alan (L) olarak bilinir.

Bir açık silindirin yüzey alanı, alt ve üst taban içermemesi dolayısıyla basitçe $$L=2\pi rh$$ ile ifade edilir.

Bir dik dairesel silindirin yüzey alanı ise üç bileşenin toplamıdır: $$A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)$$ (Formülde d=2r silindir çapını ifade ediyor.)

Bilinen bir hacimde en küçük yüzey alanına sahip silindiri bulmak için h = 2r olması gerekir. Benzer şekilde bilinen bir yüzey alanında en büyük hacme sahip silindiri bulmak için de h = 2r eşitliği sağlanmalıdır. Bu durum sağlandığında ayrıca silindir, bir küpün içine her kenarına teğet olacak şekilde sığabilir.

Bir dairesel silindirin yanal alanı (L), $$L=e\times p,$$ formülü ile de bulunabilir. Formülde e bir elemanın uzunluğudur ve p silindirin taban kısmının çevresidir. Eğer ele alınan silindir ayrıca bir dik silindir ise bu formülden yukarıdaki formül türetilebilir.